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三角形の各辺の長さが変数の不等式証明問題は，Ravi変換と呼ばれる以下の置き換えを用いるとほとんどの場合でうまくいく。 Ravi変換：a=x+y, b=y+z, c=z+xa=x+y,\:b=y+z,\:c=z+xa=x+y,b=y+z,c=z+x 「三角形の各辺の長さを a,b,ca, b, ca,b,c とおくとき以下の不等式を証明せよ」 という問題は数学オリンピックで頻出です。大学入試問題でもまれに出題されます。 「三角形の各辺の長さ」なので，三角不等式が条件として課せられることになります： a+b−c>0, b+c−a>0, c+a−b>0a+b-c>0,\:b+c-a>0,\:c+a-b>0a+b−c>0,b+c−a>0,c+a−b>0 しかし，三角不等式の制約を直接扱おうとすると泥沼にハマることが多いです。そこで， a+b−c=2y, b+c−a=2z, c+a−b=2x⋯(1

記事の監修者 学びTimesの記事は、それぞれの編集者が得意とする科目について、自身の過去の専門的な経験やノウハウをもとに記事を作成しています。 高校数学の中でもハイレベルな内容を中心に、定番の公式や定理の意外な証明・利用法から、マニアックな定理の紹介まで幅広いテーマを扱う。大学受験を志す高校生はもちろん、授業の雑談ネタを探したい高校教師、大学生、数学を学び直したい社会人など幅広い読者向けの記事を執筆。著書に『高校数学の美しい物語』（出版:SBクリエイティブ）など。 ミシガン州立大学大学院コミュニケーション研究科修士課程修了。岐阜経済大学経済学部専任講師、福井大学医学部助教授、同教授を経て、2011年より[愛知医科大学看護学部教授](https://www.aichi-med-u.ac.jp/data/profile/Staff_0012.html,no-nofollow)。大学英語教育学

テンソル積（tensor product）とは，2つの（R\mathbb{R}R 上の）ベクトル空間 V,WV, WV,W に対して定まる新しいベクトル空間 V⊗WV \otimes WV⊗W です。（→ベクトル空間と次元） はじめに背後にあるモチベーションを説明し，次にとっつきやすい定義を紹介します。最後に普遍性を使った厳密な定義について軽く触れようと思います。 (以下では全て R\mathbb{R}R 係数で考えます。) 333 次元ベクトル空間 R3\mathbb{R}^3R3 を考えます。空間ベクトル v,w∈R3v, w \in \mathbb{R}^3v,w∈R3 に対して内積 v⋅wv \cdot wv⋅w というものが定義されていました。ここでは vvv と www の内積のことを b(v,w)b(v, w)b(v,w) と書くことにしましょう。つまり bbb は写像 b 

ρ{∂v∂t+(v⋅∇)v}=−∇p+μ∇2v+ρf \rho \left\{\dfrac{\partial{\boldsymbol{v}}}{\partial{t}} + \left(\boldsymbol{v} \cdot \nabla \right) \boldsymbol{v}\right\} = -\nabla p + \mu \nabla^2 \boldsymbol{v} + \rho \boldsymbol{f} ρ{∂t∂v​+(v⋅∇)v}=−∇p+μ∇2v+ρf ナビエ-ストークス方程式（英語でNavier–Stokes equations，略してNS方程式とも呼ばれます）は，古典力学における「運動方程式」を流体力学的に書き直したものです。これの導出について説明します。また，ナビエストークス方程式の一般解が存在するかどうかは，数学的に解明されていません。これについても少

条件付き期待値・分散の初等的な定義を解説し，条件付き期待値に関する有名公式を二つ紹介します。 なお，条件付き期待値を理解するためには，前提知識として条件付き確率が必要です。→条件付き確率の意味といろいろな例題 逆に条件付き確率をきちんと理解していれば条件付き期待値は簡単です。 確率変数 YYY の値が yyy であるという条件のもとでの XXX の期待値を E[X∣Y=y]E[X\mid Y=y]E[X∣Y=y] と書き，条件付き期待値と言います。「Y=yY=yY=y となるグループに限定したときの XXX の平均」とも言えます。 式で書くと（離散型確率変数の場合）， E[X∣Y=y]=∑xxP(X=x,Y=y)P(Y=y)E[X\mid Y=y]\\=\displaystyle\sum_{x}x\dfrac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}E[X∣Y=y]=x∑​xP(Y=y)P(

∫αβ(x−α)(x−β)dx=−16(β−α)3\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3∫αβ​(x−α)(x−β)dx=−61​(β−α)3 16\dfrac{1}{6}61​ 公式（ろくぶんのいち公式）を使うと，いろいろな面積の計算をすばやくできます。ぜひ覚えておきましょう。

n×nn\times nn×n の実正方行列 UUU に対して，以下の5つの条件は同値です。この条件のいずれか1つでも（従って全部）満たすとき UUU を直交行列と言います。 U⊤=U−1U^{\top}=U^{-1}U⊤=U−1 UUU の nnn 本の行ベクトルが正規直交基底をなす UUU の nnn 本の列ベクトルが正規直交基底をなす 任意の x∈Rnx\in \mathbb{R}^nx∈Rn に対して ∥Ux∥=∥x∥\|Ux\|=\|x\|∥Ux∥=∥x∥ 任意の x,y∈Rnx,y\in\mathbb{R}^nx,y∈Rn に対して Ux⋅Uy=x⋅yUx\cdot Uy=x\cdot yUx⋅Uy=x⋅y 5つとも重要です，覚えましょう。 「正規直交」とは，全てのベクトルの長さが 111 で異なる二本のベクトルの内積が 000 であることを意味します。 4は「変換でベクトルの

じゃんけんを何回も繰り返し，獲得点数を競う グーで勝てば3点，チョキで勝てば5点，パーで勝てば6点もらえる 二人以上なら何人でも遊べるが，ここでは二人の場合のみ考える グーは「グリコ」が3文字。チョキは「チョコレート」が5音，パーは「パイナップル」が6文字であることから点数が決まっています。 なお，チョコレートは6文字なのでチョキで勝つと6点もらえるというルールの方が一般的なようです。 もらえる得点が非対称なので，それぞれの手を確率 13\dfrac{1}{3}31​ で出すよりもよい戦略がきっとある！だから最適戦略を考えよう，という問題です。 グーを出す確率が ppp，チョキを出す確率が qqq，パーを出す確率が rrr であるような戦略を (p,q,r)(p,q,r)(p,q,r) と書くことにします。 ここでは東大の問題（後述）にならって 相手がどんな戦略を取ってきても，自分がもらえ

では，ab=glab=glab=gl の証明を2通り紹介します。 まずは，具体例で実験をしていると思いつきやすい証明です。記号がいろいろ登場して難しそうですが，考え方は難しくありません。 なお，max⁡(ei,fi)\max(e_i,f_i)max(ei​,fi​) は eie_iei​ と fif_ifi​ のうち大きい方，min⁡(ei,fi)\min(e_i,f_i)min(ei​,fi​) は小さい方を表します。 aaa と bbb の少なくともどちらか一方を割り切る素数を p1,p2,⋯ ,pkp_1,p_2,\cdots ,p_kp1​,p2​,⋯,pk​ とおく。このとき，aaa と bbb を素因数分解すると， a=p1e1p2e2⋯pkeka=p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_k^{e_k}a=p1e1​​p2e2​​⋯pkek​​ b=p1f1p2f

三角錐，四角錐，円錐などの錐体の体積は 13×底面積×高さ \dfrac{1}{3} \times \text{底面積} \times \text{高さ} 31​×底面積×高さ 底面積が SSS，高さが hhh である錐体の体積 VVV を求める公式： V=13ShV=\dfrac{1}{3}ShV=31​Sh の導出を紹介します。

nnn 種類のものから重複を許して rrr 個選ぶ場合の数は n+r−1Cr{}_{n+r-1}\mathrm{C}_rn+r−1​Cr​ 通り。

解の公式で a=2,b=3,c=−4a=2,b=3,c=-4a=2,b=3,c=−4 とすると， x=−3±32−4×2×(−4)2×2=−3±9+324=−3±414x=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\times 2\times (-4)}}{2\times 2}\\ =\dfrac{-3\pm\sqrt{9+32}}{4}\\ =\dfrac{-3\pm\sqrt{41}}{4}x=2×2−3±32−4×2×(−4)​​=4−3±9+32​​=4−3±41​​ ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 の左辺を平方完成していく。 a(x2+bax)+c=0a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=0a(x2+ab​x)+c=0 a(x2+bax+b24a2)−b24a+c=0a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x

手順1. かけて 333（二次の係数）になる2つの整数を適当に決めて左に縦に並べる。例えば，111 と 333 はかけて 333 になる。 手順2. かけて 888（定数項）になる2つの整数を適当に決めて右に縦に並べる。例えば −2-2−2 と −4-4−4 はかけて 888 になる。 手順3. 「たすきがけ(斜めにそれぞれ掛け算)」する。今回の例だと，1×(−4)=−41\times (-4)=-41×(−4)=−4 と 3×(−2)=−63\times (-2)=-63×(−2)=−6 のように計算できる。 手順4. 足し算して −10-10−10（一次の係数）になればOK OKの場合，手順1と2で選んだ4つの数を使って因数分解できます： 3x2−10x+8=(1x−2)(3x−4)=(x−2)(3x−4)3x^2-10x+8\\ =(1x-2)(3x-4)\\ =(x-2)(3x-4

常用対数とは，101010 を底とする対数 log⁡10N\log_{10}Nlog10​N のこと。 つまり，10x=N10^x=N10x=N を満たす xxx のこと。 102=10010^2=100102=100 であるので log⁡10100=2\log_{10}100=2log10​100=2 103=100010^3=1000103=1000 であるので log⁡101000=3\log_{10}1000=3log10​1000=3

三平方の定理（ピタゴラスの定理）： ∠C=90∘\angle C=90^{\circ}∠C=90∘ であるような直角三角形において，a2+b2=c2a^2+b^2=c^2a2+b2=c2 英語ですが，三平方の定理の証明を105個解説しているすさまじいサイトがあります。→Pythagorean Theorem 105個の中で，個人的に「簡単で美しい」と思った証明を4つ（#3,6,42,47）ほど紹介します。

射影平面とは 1．いつもの平面に無限遠点を加えたもの 2．半球を貼りあわせたもの 3．三次元空間中の原点を通る直線の集合 実射影平面という不思議な空間の3通りの見方を解説し，射影平面への理解を深めます。3つとも姿は違えど本質的には同じものなので，状況に合わせて都合のよいもの，分かりやすいものを使えばOKです。

確率密度関数が f(x)=xn−1e−xμΓ(n)μn (x≥0)f(x)=x^{n-1}\dfrac{e^{-\frac{x}{\mu}}}{\Gamma(n)\mu^n}\:(x\geq 0)f(x)=xn−1Γ(n)μne−μx​​(x≥0) で表される確率分布をガンマ分布と言う。 μ\muμ と nnn は正のパラメータ。 ただし，Γ(n)\Gamma(n)Γ(n) はガンマ関数です。 nnn が正の整数のときは Γ(n)=(n−1)!\Gamma(n)=(n-1)!Γ(n)=(n−1)! です。→ガンマ関数（階乗の一般化）の定義と性質

二項定理は， 「(a+b)n(a+b)^n(a+b)n を展開したときの akbn−ka^kb^{n-k}akbn−k の係数は nCk{}_{n}\mathrm{C}_kn​Ck​ になる」 という定理です。ただし， (a+b)n(a+b)^n(a+b)n とは (a+b)(a+b)(a+b) を nnn 回かけたものです。例えば， (a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)^3=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b) です。 nCk{}_n\mathrm{C}_kn​Ck​ は「nnn 個のものから kkk 個選ぶ場合の数」です。二項係数と呼ばれます。→二項係数の有名公式一覧と2つの証明方針，→順列と組合せの違いと例題 (a+b)3(a+b)^3(a+b)3 を二項定理を使って展開してみる。n=3n=3n=3 として二項定理を使う。 k=

a=4,b=8,c=2a=4,b=8,c=2a=4,b=8,c=2 として底の変換公式を使うと， log⁡48=log⁡28log⁡24\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}log4​8=log2​4log2​8​ となり底が 222 になった。log⁡24=2\log_2 4=2log2​4=2，log⁡28=3\log_2 8=3log2​8=3 なので，右辺は 32\dfrac{3}{2}23​ になる。 底の変換公式 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}loga​b=logc​alogc​b​ を証明してみましょう。証明に使うのは，以下の2つです。 対数の定義： log⁡ab\log_a bloga​b とは ad=ba^d=bad=b を満たす ddd のこと 対数の性質： l

対数の定義：ab=c  ⟺  log⁡ac=ba^b=c\iff \log_a c=bab=c⟺loga​c=b log⁡aM+log⁡aN=log⁡aMN\log_a M+\log_a N=\log_a MNloga​M+loga​N=loga​MN log⁡aMp=plog⁡aM\log_a M^p=p\log_a Mloga​Mp=ploga​M log⁡a1M=−log⁡aM\log_a \dfrac{1}{M}=-\log_a Mloga​M1​=−loga​M log⁡aM−log⁡aN=log⁡aMN\log_a M-\log_a N=\log_a \dfrac{M}{N}loga​M−loga​N=loga​NM​ log⁡a1=0\log_a 1=0loga​1=0 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a

ある素数 ppp が存在して以下の3つの条件を満たすとき，整数係数多項式 f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_1x+a_0f(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​ を（整数係数の範囲でできるとこまで）因数分解すると必ず kkk 次式以上の因数がでてくる。 a0a_0a0​ は ppp の倍数だが p2p^2p2 の倍数でない a1a_1a1​ から ak−1a_{k-1}ak−1​ まで全て ppp の倍数 aka_kak​ は ppp の倍数でない 特に，k=nk=nk=n の場合に3つの条件を満たす式は既約（それ以上因数分解できない）です。 アイゼンシュタインの判定法とも呼ばれます。

数学の様々な場面で登場する重要な概念「同値関係」について解説します。同値関係とは，大雑把には「仲間であるという関係」です。前半は定義なので少し堅苦しいですが，後半はいろいろな例が登場します！ 同値関係についてきちんと定義するために，まずは二項関係について解説します。 集合 AAA 上の二項関係とは，AAA の要素を2つ並べたものをいくつか集めた集合です。例えば A={1,2,3}A=\{1,2,3\}A={1,2,3} に対して，{(1,2),(2,1),(3,1),(3,3)}\{(1,2),(2,1),(3,1),(3,3)\}{(1,2),(2,1),(3,1),(3,3)} は二項関係です。 (a,b)(a,b)(a,b) が考えている二項関係に属するとき，a∼ba\sim ba∼b と書くことにします。上の例では 1∼21\sim 21∼2，2∼12\sim 12∼1，3∼13\

無理数性の証明は背理法を使うと分かりやすい場合が多いです。つまり，有理数であることを仮定して矛盾を示します。tan⁡1∘\tan 1^{\circ}tan1∘ が有理数であれば加法定理を用いてそこから他の数が有理数であることも導けます。 tan⁡1∘\tan 1^{\circ}tan1∘ が有理数であると仮定して矛盾を導く。 tan⁡\tantan の倍角公式より tan⁡α\tan\alphatanα が有理数なら tan⁡2α\tan 2\alphatan2α も有理数である。 よって，tan⁡2∘,tan⁡4∘,⋯ ,tan⁡64∘\tan 2^{\circ}, \tan 4^{\circ},\cdots ,\tan 64^{\circ}tan2∘,tan4∘,⋯,tan64∘ も全て有理数であることが分かる。 また，tan⁡\tantan の加法定理： tan⁡(α−β)=tan⁡

ランク（階数，rank）とは任意の（正方行列とは限らない）行列に対して定義される重要な量です。 ランクには同値な定義（性質）がたくさんあります。以下の1〜8のいずれか一つをランクの定義とすれば残りはランクの性質として導けます。 8つとも重要です。全て理解するのが理想ですが，まずは自分が親しみやすい定義を一つきちんと覚えましょう。 1． AAA の正則（行列式が0でない）な小行列でサイズが最大なもののサイズ 例えば A=(120124130033)A=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&3\\0&0&3&3\end{pmatrix}A=⎝⎛​120​240​013​133​⎠⎞​ について，2×22\times 22×2 の部分行列の一つ (2041)\begin{pmatrix} 2&0\\4&1\end{pmatrix}(24​01​) は正則ですが，3×33\t