直交行列の５つの定義と性質の証明 | 高校数学の美しい物語

直交行列の５つの定義と性質の証明 | 高校数学の美しい物語

n×nn\times nn×n の実正方行列 UUU に対して，以下の5つの条件は同値です。この条件のいずれか1つでも（...概要を表示 n×nn\times nn×n の実正方行列 UUU に対して，以下の5つの条件は同値です。この条件のいずれか1つでも（従って全部）満たすとき UUU を直交行列と言います。 U⊤=U−1U^{\top}=U^{-1}U⊤=U−1 UUU の nnn 本の行ベクトルが正規直交基底をなす UUU の nnn 本の列ベクトルが正規直交基底をなす 任意の x∈Rnx\in \mathbb{R}^nx∈Rn に対して ∥Ux∥=∥x∥\|Ux\|=\|x\|∥Ux∥=∥x∥ 任意の x,y∈Rnx,y\in\mathbb{R}^nx,y∈Rn に対して Ux⋅Uy=x⋅yUx\cdot Uy=x\cdot yUx⋅Uy=x⋅y 5つとも重要です，覚えましょう。 「正規直交」とは，全てのベクトルの長さが 111 で異なる二本のベクトルの内積が 000 であることを意味します。 4は「変換でベクトルの