벡터 미적분학에서 야코비 행렬(영어: Jacobian matrix)은 다변수 벡터 함수의 도함수 행렬이다. 야코비 행렬식(영어: Jacobian determinant)은 야코비 행렬의 행렬식을 뜻한다.
열린집합
에 정의된 함수
가 점
에서 미분 가능하다고 하자. 이 경우
의
에서의 야코비 행렬
은 다음과 같다.
![{\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )={\begin{pmatrix}(\partial f_{1}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{1}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{1}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\\(\partial f_{2}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{2}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{2}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\\\vdots &\vdots &&\vdots \\(\partial f_{m}/\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial f_{m}/\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial f_{m}/\partial x_{n})(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\nabla f_{1}(\mathbf {a} )\\\nabla f_{2}(\mathbf {a} )\\\vdots \\\nabla f_{m}(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\partial \mathbf {f} /\partial x_{1})(\mathbf {a} )&(\partial \mathbf {f} /\partial x_{2})(\mathbf {a} )&\cdots &(\partial \mathbf {f} /\partial x_{n})(\mathbf {a} )\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d25272f7924696d5d69ad8d9f311c3026e1eee)
즉, 각
는
의
번째 성분의
번째 변수에 대한 편도함수이다.
만약
일 경우, 야코비 행렬은 정사각행렬이므로, 그 행렬식
을 취할 수 있다. 이를
의
에서의 야코비 행렬식이라고 한다.
특히, 열린집합
에 정의된 미분 가능 함수
의 야코비 행렬
은 다음과 같다.
![{\displaystyle J(\mathbf {f} )\colon U\to \operatorname {Mat} (m,n;\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c43a747c7235af2ca0a766122e411ea0d0d5840)
![{\displaystyle J(\mathbf {f} )\colon \mathbf {x} \mapsto J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )\qquad \forall \mathbf {x} \in U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b22d2291aa9dc4ce4300359d2222e9b8e053299)
야코비 행렬의 표기에는 다음과 같은 표기들이 쓰인다.
![{\displaystyle J(\mathbf {f} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953068d3dd0fe323989225cd7481e205f03b7cbb)
![{\displaystyle \mathbf {f} '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248221d87d26e2c78c460ba8ce83f00bd181f596)
![{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cdd08d603ee9e9a027a22d30db229a932f1f2f6)
![{\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\dotsc ,f_{m})}{\partial (x_{1},\dotsc ,x_{n})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a845e9c57feb827450a4d87d7f188ad68bb739e9)
마지막 표기는 일부 문헌에서 야코비 행렬식을 나타내는 데 사용된다.
열린집합
에 정의된 함수
가 점
에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {a} +\Delta x)-\mathbf {f} (\mathbf {a} )=J(\mathbf {f} )(\mathbf {a} )\Delta \mathbf {x} +\mathbf {o} (\Vert \Delta \mathbf {x} \Vert )\qquad (\Delta \mathbf {x} \to \mathbf {0} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/023d00d105a7115a08cd6954670bd5c4ca2c5da3)
즉,
는
의
에서의 프레셰 도함수이다.
다음과 같은 함수
를 생각하자.
![{\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(xy,\sin xy)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9096bb5d7ab743c51683baf7efe902c3baf8495)
모든 편도함수는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}=y,\;{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}=x,\;{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}=y\cos xy,\;{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}=x\cos xy\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c29266eaabb050bd1b41265b64e76f4e74f77f)
따라서,
의 야코비 행렬은 다음과 같다.
![{\displaystyle J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )={\begin{pmatrix}y&x\\y\cos xy&x\cos xy\end{pmatrix}}\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1730946b677c538073e6a1b167bcfd7af02774b)
또한,
의 야코비 행렬식은 다음과 같다.
![{\displaystyle \det J(\mathbf {f} )(\mathbf {x} )=0\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6976d080327b99250c687ce64a4dcf8a2cf9c56)