Јакобијева матрица је матрица парцијалних извода првог реда неке функције и има облик:
![{\displaystyle J_{F}\left(M\right)={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3e9291eae92a2100e79e11a72eaaca2f5c3770)
Јакобијан је детерминанта Јакобијеве матрице. Добила је назив по немачком математичару Карлу Густаву Јакобију.
Нека је
функција са Еуклидова n- простора на Еуклидов m-простор. Таква функција има м компоненти:
![{\displaystyle F:{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e58f9a09d3ab8feddfd0a7a67915bd8c152bd4)
Тада парцијални изводи тих функција чине Јакобијеву матрицу:
![{\displaystyle J_{F}\left(M\right)={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba3e9291eae92a2100e79e11a72eaaca2f5c3770)
Матрица се означава и као:
![{\displaystyle J_{F}\left(M\right),\qquad {\frac {\partial \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\partial \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}\qquad {\text{ili}}\qquad {\frac {\mathrm {D} \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\mathrm {D} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3f9f2e6c9d882b2e047b2a80fdb9805c2039863)
У случају да су
ортогоналне Декартове координате тада матрица одговара градијенту компоненти функције, тј.
.
У случају да је
Јакобијева матрица је квадратна матрица па има детерминанту, која се назива Јакобијева детерминанта или Јакобијан. Јакобијан се користи за израчунавања вишеструких интеграла заменом координатнога система
тако да следи:
![{\displaystyle \int \limits _{\tilde {\Omega }}f({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2364469fe46dfdd4a6886f10362f8a5b9407e82b)
![{\displaystyle =\int \limits _{\Omega }f({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n}){\bigg |}{\frac {D({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})}{D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8637cfa7dc5c57c9f211d2f182bed3469af658e5)
У случају трансформације сфернога координатнога система заданога са (r, θ, φ) на картезијев координатни систем једначине трансформације су:
![{\displaystyle x_{1}=r\,\sin \theta \,\cos \phi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d2e11b36098d514591fd67d4849e7e9f08817e7)
![{\displaystyle x_{2}=r\,\sin \theta \,\sin \phi \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ff79a1967415422363ab44d26546f1d326b4b8)
![{\displaystyle x_{3}=r\,\cos \theta .\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd64555856e2c0055b0b3d8c2b56a392ae3e3e6c)
Јакобијева матрица је тада дана са:
![{\displaystyle J_{F}(r,\theta ,\phi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial \phi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8b96346f237957ad53046ca86790d790150852c)
Јакобијан је детерминанта те матрице тј:
![{\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=r^{2}\sin \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5f2641b7e9afc4c9dd56c82765964826c9e860)
Односно запремински елемент је тада:
![{\displaystyle \mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911364eca6b9ee3ac59dbcaf8ad19752985fee73)
У поларном координатном систему једначине трансформације су:
![{\displaystyle x\,=r\,\cos \,\phi ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7496670efc1b880339098c2b57046b1c838bc213)
![{\displaystyle y\,=r\,\sin \,\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33d8f62cfcc685cadf4ede04b2c8c8a9b6ace3b)
Јакобијева матрица је дана са:
Јакобијева детерминанта или Јакобијан је онда једнак
. Због тога се двоструки интеграли могу из картезијевога система трансформисати у поларни систем на следећи начин:
![{\displaystyle \iint _{A}dx\,dy=\iint _{B}r\,dr\,d\phi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61372c0126887bf7a0b5b0c28b5615f4bac013e)
- Јакобијан
- Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley 1984.
- Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. izdanje. Springer, Berlin. 1996. ISBN 978-3-540-60656-7.