곱 규칙

미적분학에서 곱 규칙(-規則, 영어: product rule) 또는 곱의 미분법 또는 라이프니츠 법칙(영어: Leibniz rule)은 함수의 곱의 미분을 구하는 공식이다.

정의

실변수 실숫값 함수의 경우

만약 두 함수 $f,g\colon I\to \mathbb {R}$ 가 $x_{0}\in I\subseteq \mathbb {R}$ 에서 미분 가능하다면, $fg$ 역시 $x_{0}$ 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

(fg)'(x_{0})=f'(x_{0})g(x_{0})+f(x_{0})g'(x_{0})

이를 라이프니츠 표기법을 사용하여 쓰면 다음과 같다.

{\frac {d}{dx}}(fg)(x_{0})=g{\frac {df}{dx}}(x_{0})+f{\frac {dg}{dx}}(x_{0})

선형 근사를 사용하여 쓰면 다음과 같다.

d(fg)|_{x=x_{0}}=(gdf+fdg)|_{x=x_{0}}

만약 함수 $f_{1},\dotsc ,f_{k}\colon I\to \mathbb {R}$ 가 $x_{0}\in I\subseteq \mathbb {R}$ 에서 미분 가능하다면, $f_{1}f_{2}\cdots f_{k}$ 의 $x_{0}$ 에서의 미분은 다음과 같다.

(f_{1}f_{2}\cdots f_{k})'(x_{0})=f_{1}'(x_{0})f_{2}(x_{0})\cdots f_{k}(x_{0})+f_{1}(x_{0})f_{2}'(x_{0})\cdots f_{k}(x_{0})+\cdots f_{1}(x_{0})f_{2}(x_{0})\cdots f_{k}'(x_{0})

보다 일반적으로, 만약 $f,g$ 가 $n$ 계 도함수를 갖는다면, $fg$ 역시 $n$ 계 도함수를 가지며, 이는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 이항 계수이다.)

(fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)

만약 $f_{1},f_{2},\dotsc ,f_{k}$ 가 $n$ 계 도함수를 갖는다면, $f_{1}f_{2}\cdots f_{k}$ 의 $n$ 계 도함수는 다음과 같다. (여기에 나오는 계수는 다항 계수이다.)

(f_{1}f_{2}\cdots f_{k})^{(n)}(x)=\sum _{n_{1},n_{2},\dotsc ,n_{k}\geq 0}^{n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}=n}{\frac {n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots n_{k}!}}f_{1}^{(n_{1})}(x)f_{2}^{(n_{2})}(x)\cdots f_{k}^{(n_{k})}(x)

다변수 벡터값 함수의 경우

두 함수 $f,g\colon U\to \mathbb {R}$ 가 $\mathbf {x} _{0}\in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ 에서 변수 $x_{i}$ 에 대한 편미분이 존재한다고 하자. 그렇다면 $fg$ 역시 그러하며, 그 $x_{i}$ 에 대한 편미분은 다음과 같다.