합 규칙

미적분학에서 합 규칙(合規則, 영어: sum rule)은 미분이 함수의 덧셈을 보존한다는 법칙이다.

정의

두 함수 $f,g\colon I\to \mathbb {R}$ 가 $x_{0}\in I\subseteq \mathbb {R}$ 에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, $f+g$ 역시 $x_{0}$ 에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

(f+g)'(x_{0})=f'(x_{0})+g'(x_{0})

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

{\frac {d}{dx}}(f+g)(x_{0})={\frac {df}{dx}}(x_{0})+{\frac {dg}{dx}}(x_{0})

보다 일반적으로, 유한 개의 함수 $f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}\colon I\mathbb {R}$ 에 대한 합 규칙은 다음과 같다.

(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})'(x_{0})=f_{1}'(x_{0})+f_{2}'(x_{0})+\cdots +f_{n}'(x_{0})

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

{\frac {d}{dx}}(f_{1}+f_{2}+\cdots +f_{n})(x_{0})={\frac {df_{1}}{dx}}(x_{0})+{\frac {df_{2}}{dx}}(x_{0})+\cdots +{\frac {df_{n}}{dx}}(x_{0})

증명

$h (x) = f (x) + g (x)$ 이고 $f$ 와 $g$ 가 각각 $x$ 에서 미분 가능하다고 하자. 미분의 정의와 극한의 성질을 이용하면 $h$ 가 $x$ 에서 미분 가능하고 $h' (x) = f' (x) + g' (x)$ 라는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다.

{\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {[f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)]-[f(x)+g(x)]}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\&=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}}\\&=f'(x)+g'(x).\end{aligned}}