수학 에서, 산술-기하 수열은 등차수열 의 항과 대응하는 등비수열 의 항을 항별로 곱한 수열이다. 더 쉽게 말해서, 산술-기하 수열의 n항은 등차수열의 n항과 등비수열의 n항의 곱이다. 산술-기하 수열은 확률론 에서 기댓값 을 계산하는 것과 같은 다양한 응용에서 나타난다. 예를 들어, 수열
0
1
,
1
2
,
2
4
,
3
8
,
4
16
,
5
32
,
⋯
{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }
은 산술-기하 수열이다. 산술 성분은 분자에 나타나고 (파란색), 기하 성분은 분모에 나타난다. (초록색)
이것은 등차수열과 등비수열의 특징을 둘 다 나타내는 다른 대상들에 적용될 수 있다. 예를 들어 산술-기하 수열 의 프랑스식 개념은
u
n
+
1
=
a
u
n
+
b
{\displaystyle u_{n+1}=au_{n}+b}
선형 계차 방정식 의 특별한 경우이다.
공차가
d
{\displaystyle d}
a
{\displaystyle a}
등차수열 (파란색)과 초항이
b
{\displaystyle b}
r
{\displaystyle r}
등비수열 로 이루어진 산술-기하 수열의 처음 몇 개의 항은 다음과 같이 주어진다:[ 1]
t
1
=
a
b
t
2
=
(
a
+
d
)
b
r
t
3
=
(
a
+
2
d
)
b
r
2
⋮
t
n
=
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}
예를 들어, 수열
0
1
,
1
2
,
2
4
,
3
8
,
4
16
,
5
32
,
⋯
{\displaystyle {\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}},\ {\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}},\ {\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}},\ {\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}},\ {\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}},\ {\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}},\cdots }
은
d
=
b
=
1
{\displaystyle d=b=1}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
r
=
1
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
산술-기하 수열의 첫 n
S
n
=
∑
k
=
1
n
t
k
=
∑
k
=
1
n
[
a
+
(
k
−
1
)
d
]
b
r
k
−
1
=
a
b
+
[
a
+
d
]
b
r
+
[
a
+
2
d
]
b
r
2
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
=
A
1
G
1
+
A
2
G
2
+
A
3
G
3
+
⋯
+
A
n
G
n
,
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}}
이 때
A
i
{\displaystyle A_{i}}
G
i
{\displaystyle G_{i}}
i 항을 각각 의미한다.
이 합은 다음과 같은 닫힌 형태 표현 을 갖는다.
S
n
=
a
b
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
1
−
r
+
d
b
r
(
1
−
r
n
)
(
1
−
r
)
2
=
A
1
G
1
−
A
n
+
1
G
n
+
1
1
−
r
+
d
r
(
1
−
r
)
2
(
G
1
−
G
n
+
1
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+{\frac {dbr\,(1-r^{n})}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+{\frac {dr}{(1-r)^{2}}}\,(G_{1}-G_{n+1}).\end{aligned}}}
다음에 r을 곱한 다음,[ 1]
S
n
=
a
b
+
[
a
+
d
]
b
r
+
[
a
+
2
d
]
b
r
2
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
{\displaystyle S_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}}
rSn Sn 망원 급수 의 기법을 이용하면 다음을 얻는다.
(
1
−
r
)
S
n
=
[
a
b
+
(
a
+
d
)
b
r
+
(
a
+
2
d
)
b
r
2
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
]
−
[
a
b
r
+
(
a
+
d
)
b
r
2
+
(
a
+
2
d
)
b
r
3
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
]
=
a
b
+
d
b
(
r
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
)
−
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
=
a
b
+
d
b
(
r
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
+
r
n
)
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
=
a
b
+
d
b
r
(
1
+
r
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
)
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
=
a
b
+
d
b
r
(
1
−
r
n
)
1
−
r
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n},\end{aligned}}}
이 때 마지막 등식은 등비수열의 합 으로부터 얻어진다. 마지막으로 1 − r 을 나누면 결론을 얻는다.
만일 −1 < r < 1이면, 산술-기하 급수 S 는 말하자면 무한히 많은 항들을 더해서 얻은 것인데, 이는 다음과 같이 주어진다.[ 1]
S
=
∑
k
=
1
∞
t
k
=
lim
n
→
∞
S
n
=
a
b
1
−
r
+
d
b
r
(
1
−
r
)
2
=
A
1
G
1
1
−
r
+
d
G
1
r
(
1
−
r
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}
만일 r 이 위의 범위를 벗어나면, 급수는 다음 둘 중 하나이다.
발산한다 (r > 1 또는 r = 1이고 등차수열의 a 와 d 가 모두 0이 아닌 경우. 만일 후자의 경우 a 와 d 가 모두 0이면, 급수의 모든 항이 0이 되어 급수는 상수가 된다.)또는 교대급수 (when r ≤ −1). 예를 들어, 합
S
=
0
1
+
1
2
+
2
4
+
3
8
+
4
16
+
5
32
+
⋯
{\displaystyle S={\dfrac {\color {blue}{0}}{\color {green}{1}}}+{\dfrac {\color {blue}{1}}{\color {green}{2}}}+{\dfrac {\color {blue}{2}}{\color {green}{4}}}+{\dfrac {\color {blue}{3}}{\color {green}{8}}}+{\dfrac {\color {blue}{4}}{\color {green}{16}}}+{\dfrac {\color {blue}{5}}{\color {green}{32}}}+\cdots }
는
d
=
b
=
1
{\displaystyle d=b=1}
a
=
0
{\displaystyle a=0}
r
=
1
2
{\displaystyle r={\frac {1}{2}}}
S
=
2
{\displaystyle S=2}
이 수열은 "뒷면"을 얻기까지 예상되는 동전 던지기 의 기댓값과 관련있다. k 번째 동전 던지기에서 처음으로 뒷면을 얻을 확률
T
k
{\displaystyle T_{k}}
T
1
=
1
2
,
T
2
=
1
4
,
…
,
T
k
=
1
2
k
{\displaystyle T_{1}={\frac {1}{2}},\ T_{2}={\frac {1}{4}},\dots ,T_{k}={\frac {1}{2^{k}}}}
따라서 동전 던지기의 기댓값은
∑
k
=
1
∞
k
T
k
=
∑
k
=
1
∞
k
2
k
=
S
=
2
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }kT_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\color {blue}k}{\color {green}2^{k}}}=S=2}
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/528c2da02b4b0fb0277466a44162a1320a078ede)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}\\&=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\\&=A_{1}G_{1}+A_{2}G_{2}+A_{3}G_{3}+\cdots +A_{n}G_{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e54d1f9fec578d07bf56c1534273e8de0a5b2818)
![{\displaystyle S_{n}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af1db0043b62dbe6c15050282c4a5d93ba3b55dd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)S_{n}={}&\left[ab+(a+d)br+(a+2d)br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[abr+(a+d)br^{2}+(a+2d)br^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n}\right]\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]br^{n}\\[5pt]={}&ab+db\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+dbr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)br^{n}\\[5pt]={}&ab+{\frac {dbr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)br^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3b3fbe0b8d58d981f2cf99059862166f2fbc9b)
