מספר פרמה

בתורת המספרים, מספרי פרמה הם מספרים טבעיים מהצורה $F_{n}=2^{\left(2^{n}\right)}+1$, כאשר $\,n$ הוא מספר שלם לא שלילי. המספרים קרויים על שם המתמטיקאי הצרפתי פייר דה פרמה שחקר אותם לראשונה.

ניתן להוכיח שכאשר $\,{2^{n}}+1$ הוא מספר ראשוני, $\,n$ חייב להיות חזקה של 2. מכאן: כל מספר ראשוני מהצורה $\,{2^{n}}+1$ הוא מספר פרמה, ומספר ראשוני כזה קרוי ראשוני פרמה. פרמה הבחין שחמשת המספרים הראשונים בסדרה,

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65,537,

הם ראשוניים, וקבע (בסביבות 1640) שכל המספרים בסדרה הם ראשוניים. כמאה שנים אחר-כך גילה לאונרד אוילר שהמספר הבא בסדרה אינו ראשוני: $\ F_{5}=2^{2^{5}}+1=4294967297=641\cdot 6700417$. יתרה מזו, אוילר הראה שכל גורם ראשוני של $\ F_{n}$ מוכרח להיות מהצורה $\ 2^{n+1}k+1$ (הוכחה: אם $\ 2^{2^{n}}+1\equiv 0{\pmod {p}}$ אז הסדר של 2 בחבורת אוילר של p הוא $\ 2^{n+1}$, ולכן מספר זה מחלק את סדר החבורה שהוא p-1). הגורם 641 הוא הראשוני החמישי בלבד מהצורה $\ 64k+1$. מאז התגלו גורמים ראשוניים של מספרי פרמה רבים, כגון: $\ F_{6}=2^{2^{6}}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721$, ולא נמצא אף ראשוני פרמה נוסף.

אחת התכונות המעניינות של מספרי פרמה הוא הקשר שלהם לבעיות של ימי קדם. גאוס הוכיח שניתן לבנות עם סרגל ומחוגה מצולע משוכלל בן $\,p$ צלעות, כאשר $\,p$ ראשוני, אם ורק אם $\,p$ הוא ראשוני פרמה. ובאופן כללי ניתן לבנות מצולע משוכלל בן $\,n$ צלעות (כאשר $\,n>2$ ) אם ורק אם n הוא מכפלה של ראשוניי פרמה שונים זה מזה וחזקה כלשהי של 2.

מספר בעיות פתוחות בתורת המספרים עוסקות במספרי פרמה:

• האם $\,F_{n}$ הוא מספר פריק לכל $\,n>4$ ?
• האם יש מספר אינסופי של ראשוני פרמה?
• האם יש מספר אינסופי של מספרי פרמה פריקים?

עד כה פורקו פירוק מלא לגורמים 12 מספרי פרמה הראשונים; המספר הראשון שטבעו (ראשוני או פריק) אינו ידוע הוא $\ F_{33}=2^{2^{33}}+1$; ונמצאו עוד כ-250 מספרי פרמה שהוכחו כפריקים.

הפירוק המלא של 12 מספרי פרמה הראשונים הוא:

F0	=	21	+	1	=	3 ראשוני
F1	=	22	+	1	=	5 ראשוני
F2	=	24	+	1	=	17 ראשוני
F3	=	28	+	1	=	257 ראשוני
F4	=	216	+	1	=	65,537 מספר פרמה הראשוני המוּכָּר הגדול ביותר
F5	=	232	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417 (פורק באופן מלא בשנת 1732)
F6	=	264	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617 (20 ספרות)
					=	274,177 × 67,280,421,310,721 (14 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1855)
F7	=	2128	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457 (39 ספרות)
					=	59,649,589,127,497,217 (17 ספרות) × 5,704,689,200,685,129,054,721 (22 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1970)
F8	=	2256	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129, 639,937 (78 ספרות)
					=	1,238,926,361,552,897 (16 ספרות) × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321 (62 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1980)
F9	=	2512	+	1	=	13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,0 30,073,546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,6 49,006,084,097 (155 ספרות)
					=	2,424,833 × 7,455,602,825,647,884,208,337,395,736,200,454,918,783,366,342,657 (49 ספרות) × 741,640,062,627,530,801,524,787,141,901,937,474,059,940,781,097,519,023,905,821,316,144,415,759, 504,705,008,092,818,711,693,940,737 (99 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1990)
F10	=	21024	+	1	=	179,769,313,486,231,590,772,930...304,835,356,329,624,224,137,217 (309 ספרות)
					=	45,592,577 × 6,487,031,809 × 4,659,775,785,220,018,543,264,560,743,076,778,192,897 (40 ספרות) × 130,439,874,405,488,189,727,484...806,217,820,753,127,014,424,577 (252 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1995)
F11	=	22048	+	1	=	32,317,006,071,311,007,300,714,8...193,555,853,611,059,596,230,657 (617 ספרות)
					=	319,489 × 974,849 × 167,988,556,341,760,475,137 (21 ספרות) × 3,560,841,906,445,833,920,513 (22 ספרות) × 173,462,447,179,147,555,430,258...491,382,441,723,306,598,834,177 (564 ספרות) (פורק באופן מלא בשנת 1988)

מקורות

• L.E. Dickson, Theory of Numbers, Vol. I, Chapter XV.

קישורים חיצוניים

• מספר פרמה, באתר MathWorld (באנגלית)
• מספר פרמה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• סדרת מספרי פרמה באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים

• R. D. Carmichael, Fermat Numbers, American Mathematical Monthly, April 1919, in JSTOR