Fermatovo číslo

Fermatovým číslem se v matematice rozumí takové přirozené číslo, které je rovno

F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1

pro nějaké nezáporné celé číslo $n$ . Svoje jméno tato čísla získala podle matematika Pierra de Fermata, který je zkoumal jako jeden z prvních.

Prvních devět Fermatových čísel je:

F₀	=	2¹	+	1	=	3
F₁	=	2²	+	1	=	5
F₂	=	2⁴	+	1	=	17
F₃	=	2⁸	+	1	=	257
F₄	=	2¹⁶	+	1	=	65 537
F₅	=	2³²	+	1	=	4 294 967 297
					=	641 × 6 700 417
F₆	=	2⁶⁴	+	1	=	18 446 744 073 709 551 617
					=	274 177 × 67 280 421 310 721
F₇	=	2¹²⁸	+	1	=	340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 457
					=	59 649 589 127 497 217 × 5 704 689 200 685 129 054 721
F₈	=	2²⁵⁶	+	1	=	115 792 089 237 316 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 937
					=	1 238 926 361 552 897 × 93 461 639 715 357 977 769 163 558 199 606 896 584 051 237 541 638 188 580 280 321

V roce 2008 byl znám prvočíselný rozklad pouze prvních dvanácti Fermatových čísel F₀ až F₁₁.^[1]

Fermatova prvočísla

Fermat věřil, že všechna Fermatova čísla jsou prvočísla (takovým číslům se pak zkráceně říká Fermatovo prvočíslo). To bylo vyvráceno v roce 1732 Leonhardem Eulerem. Euler dokázal, že dělitel čísla F_n musí mít podobu k2ⁿ⁺² + 1. Pro $n=5$ tedy stačí zkoušet dělit čísly 128k + 1 a Euler objevil, že

F_{5}=2^{2^{5}}+1=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417.\;

V rozporu s Fermatovým očekáváním se dodnes (2008) nepodařilo objevit žádná další Fermatova prvočísla kromě F₀, F₁, F₂, F₃ a F₄, která znal už Fermat. Vzhledem k tomu, jak rychle Fermatova čísla rostou, se o Fermatových číslech pro velká n mnoho neví a pojí se k nim následující otevřené problémy:

jsou všechna Fermatova čísla F_n pro $n>4$ složená?
existuje nekonečně mnoho Fermatových složených čísel?
existuje nekonečně mnoho Fermatových prvočísel?

Odkazy

Reference

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Fermat number na anglické Wikipedii.

↑ (anglicky) Wilfrid Keller, „Prime Factors of Fermat Numbers“ Archivováno 10. 2. 2016 na Wayback Machine.. Staženo 2008-09-07.

Externí odkazy

(anglicky) Pod číslem A000215 jsou Fermatova čísla evidována v On-line databázi celočíselných posloupností

[Keller-1] (anglicky) Wilfrid Keller, „Prime Factors of Fermat Numbers“ Archivováno 10. 2. 2016 na Wayback Machine.. Staženo 2008-09-07.

[1]