費馬數
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其中n係非負整數。
若 系質數,可以得到 必須系 嘅次方。(如果 ,其中 ,而且 係奇數,噉 ,即係 係 嘅因數。)亦即係講,所有 噉樣嘅素數一定係費馬數,呢些素數稱叫做費馬質數。已知嘅費馬質數只有 到 五個。
基本性質
[編輯]費馬數滿足以下嘅遞回關係:
其中 。呢些等式都可以用數學歸納法推論出嚟。由最後一個等式中,我哋可以推出哥德巴赫定理:任何兩個費馬數都冇大於1嘅公因子。要推論出呢個,我哋需要假設 ,而且 同埋 有一個公因數 。咁 可以將
其他性質:
- 嘅位數 ()可以表示成以 做基數嘅樣。
- 除咗 以外冇費馬數可以表示成兩個質數嘅和。
- 當 係奇質數陣,冇費馬數可以表示成兩個數嘅 次方相減嘅形式。
- 除咗 和 ,費馬數嘅最後一位係 。
- 所有費馬數(OEIS數列A051158)嘅倒數之和係無理數。 (Solomon W. Golomb, 1963)
最小嘅費馬數
[編輯]3、5、17、257、65537、4294967297、18446744073709551617(OEIS數列A000215)。
素性檢驗
[編輯]假設為第n個費馬數。如果n唔等於零,咁:
- 係質數,當且只當。
證明
[編輯]假設以下等式成立:
咁,於是滿足 嘅最小整數 一定整除,佢係 嘅次方。另一方面, 唔可以俾整除,因此佢一定等於。另外,存在至少個細過而且同互質嘅數,呢個只會喺係質數嘅時候先至發生。
假設係質數。根據歐拉准則,有:
- ,