Fermatovo praštevilo

Fermatovo práštevílo [fermájevo ~] je število oblike:

F_{n}\equiv 2^{2^{\overset {n}{}}}+1\!\,,

kjer je n naravno število.

Cela števila v splošni obliki:

2^{2^{n}}+1,

kjer je n naravno število se imenujejo Fermatova števila. Fermat je nepravilno domneval, da so vsa takšna števila praštevila, čeprav ni imel dokaza. Prvih pet Fermatovih števil 3, 5, 17, 257, 65537, ki odgovarjajo n = 0, 1, 2, 3, 4, so vsa praštevila. Euler je prvi leta 1732 dokazal, da ta Fermatova domneva ne velja, in pokazal kako je število 641 delitelj Fermatovega števila F₅, saj je:^[1]

{\begin{aligned}F_{5}&=2^{2^{5}}+1=2^{4}\left(2^{7}\right)^{4}+1=\left(2^{7}\cdot 5-5^{4}+1\right)\left(2^{7}\right)^{4}+1\\&=\left(1+2^{7}\cdot 5\right)\left(2^{7}\right)^{4}+1-\left(2^{7}\cdot 5\right)^{4}\\&=\left(1+2^{7}\cdot 5\right)\left(\left(2^{7}\right)^{4}\left(1-5\cdot 2^{7}\right)\left(1+\left(5\cdot 2^{7}\right)^{2}\right)\right)\\&=641\cdot 6700417=4294967297\!\,,\end{aligned}}

oziroma:

F_{5}=2^{32}+1=\left(2^{9}+2^{7}+1\right)\left(2^{23}-2^{21}+2^{19}-2^{17}+2^{14}-2^{9}-2^{7}+1\right)\!\,.

Euler je dokazal, da mora biti vsak faktor F_n oblike k2ⁿ⁺¹ + 1, kar je kasneje Lucas leta 1878 izboljšal na k2ⁿ⁺² + 1.

V bistvu ne poznamo nobenega Fermatovega števila za n > 4, ki bi bilo praštevilo in tako domnevamo, da so to tudi vsa praštevila te oblike. Ne vemo tudi ali obstaja neskončno mnogo Fermatovih praštevil. Prva Fermatova števila so (OEIS A000215):

F₀ = 2¹ + 1 = 3

F₁ = 2² + 1 = 5

F₂ = 2⁴ + 1 = 17

F₃ = 2⁸ + 1 = 257

F₄ = 2¹⁶ + 1 = 65537

F₅ = 2³² + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417

F₆ = 2⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 · 67280421310721

F₇ = 2¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 · 5704689200685129054721

F₈ = 2²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 · 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

Poznamo le razcep prvih 12 Fermatovih števil.

Gauss je dokazal, da lahko vsak pravilni mnogokotnik z m oglišči konstruiramo samo z ravnilom in šestilom tedaj in le tedaj, kadar lahko zapišemo m kot:

m = 2^k F_r1 F_r2 ... F_rt,

kjer je k ≥ 0 in so drugi množitelji (faktorji) poljubna praštevila zgornje oblike Fermatovega števila F_n.

Osnovne značilnosti

Za Fermatova števila veljajo naslednje rekurenčne enačbe:

F_{n}=(F_{n-1}-1)^{2}+1\!\,

za n ≥ 1 in:

F_{n}=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}F_{0}\cdots F_{n-2}\!\,

F_{n}=F_{n-1}^{2}-2(F_{n-2}-1)^{2}\!\,

F_{n}=F_{0}\cdots F_{n-1}+2\!\,

za n ≥ 2. Vse enačbe lahko dokažemo s popolno indukcijo. Iz zadnje enačbe sledi Goldbachov izrek: nobeni dve Fermatovi števili nimata skupnega faktorja, oziroma različna Fermatova števila so si med seboj tuja.

Fermatova števila so poseben primer Prothovih števil (za $n=2^{n}$ in $k=1$ ).