Момент імпульсу

Момент імпульсу
Розмірність	${\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}$
Формула	${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}$
Позначення у формулі	${\boldsymbol {L}}$, ${\boldsymbol {r}}$ і ${\boldsymbol {p}}$
Символ величини (LaTeX)	${\boldsymbol {L}}$
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Рекомендована одиниця вимірювання	kilogram square metre per secondd
Момент імпульсу у Вікісховищі

Моме́нт і́мпульсу (також: кутовий момент, момент кількості руху) — векторна величина, що характеризує величину та напрямок обертального руху тіла. Для матеріальної точки вона дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки $\mathbf {r}$ та її імпульсу $\mathbf {p}$.

Момент імпульсу в класичній механіці

Зв'язок між імпульсом $\scriptstyle {\mathbf {p} }$ і моментом $\scriptstyle {\mathbf {L} }$

Зовнішні відеофайли
	1. Що таке момент імпульсу (кутовий момент) // Канал «Цікава наука» на YouTube, 13 квітня 2021.

Визначення

Моментом імпульсу матеріальної точки відносно початку координат в класичній механіці є псевдовектор, який дорівнює векторному добутку радіус-вектора даної точки та її імпульсу:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

Відповідно,

• $\mathbf {L}$ — момент імпульсу;
• $\mathbf {r}$ — радіус-вектор;
• $\mathbf {p}$ — імпульс.

Якщо фізична система складається з багатьох матеріальних точок, то результуючий момент імпульсу відносно початку координат є сумою (інтегралом) усіх моментів імпульсу складових системи.

Для багатьох практичних задач, які вивчають властивості об'єкта, що обертається навколо певної осі, достатньо проаналізувати скалярне значення моменту імпульсу $L$, яке є проєкцією вектора моменту імпульсу на дану вісь і може бути як додатним, так і від'ємним. Ця величина також називається моментом імпульсу відносно осі. Відповідно до визначення векторного добутку векторів, скаляр моменту імпульсу визначається як

$L=|\mathbf {r_{\perp }} ||\mathbf {p_{\perp }} |\sin \theta _{r,p}$,

де $\mathbf {r_{\perp }}$ та $\mathbf {p_{\perp }}$ — проєкції векторів $\mathbf {r}$ та $\mathbf {p}$ на площину, що перпендикулярна даній осі, $\theta _{r,p}$ — кут між $\mathbf {r_{\perp }}$ та $\mathbf {p_{\perp }}$, який вимірюється від $\mathbf {r_{\perp }}$ до $\mathbf {p_{\perp }}$; такий порядок обходу векторів при визначенні кута є принциповим. Якщо порядок змінити на зворотний, зміниться й знак.

Для тіла сталої маси, яке обертається навколо фіксованої осі, момент імпульсу можна визначити як добуток моменту інерції тіла відносно цієї осі та кутової швидкості обертання тіла:

$\mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}$,

де $I$ — скалярний момент інерції, ${\boldsymbol {\omega }}$ — вектор кутової швидкості. У випадку довільного обертання величина $I$ є тензором другого рангу і називається тензором інерції. Тоді $\mathbf {L}$ може бути непаралельним до ${\boldsymbol {\omega }}$.

Момент імпульсу у Спеціальній теорії відносності та класичній теорії поля

У Спеціальній теорії відносності вектор моменту імпульсу дає компоненти антисиметричного тензора другого рангу — тензора моменту імпульсу та спіну:

$\ L_{\alpha \beta }=x_{\alpha }p_{\beta }-x_{\beta }p_{\alpha }$,

або, у явному вигляді,

$\ L_{\alpha \beta }=(\mathbf {G} ,\mathbf {L} )={\begin{pmatrix}0&-G_{x}&-G_{y}&-G_{z}\\G_{x}&0&L_{z}&-L_{y}\\G_{y}&-L_{z}&0&L_{x}\\G_{z}&L_{y}&-L_{x}&0\end{pmatrix}}$,

де $\ \mathbf {L} =[\mathbf {r} \times \mathbf {p} ],\quad \mathbf {G} ={\frac {E}{c}}\mathbf {r} -ct\mathbf {p}$ — вектори моменту імпульсу та спіну.

Тензорне представлення вектора моменту імпульсу виникає з того, що перетворення Лоренца даного вектора збігається з перетворенням Лоренца компонент антисиметричного тензора.

У рамках класичної теорії поля тензором моменту імпульсу та спіну називають струм, який відповідає інваріантності лагранжіана поля щодо перетворень Лоренца, які можна інтерпретувати як повороти у 4-просторі-часі:

$\ J_{\mu ,\alpha \beta }=L_{\mu ,\alpha \beta }+S_{\mu ,\alpha \beta }=(x_{\alpha }T_{\mu \beta }-x_{\beta }T_{\mu \alpha })+{\frac {\partial L}{\partial (\partial ^{\mu }\Psi _{k})}}Y_{k,\alpha \beta }$,

де $\ T_{\alpha \beta }$ — тензор енергії-імпульсу, $\ \Psi _{k}$ — поле, $\ Y_{k,\alpha \beta }$ — величина-похідна, що визначає трансформаційні властивості поля щодо перетворення Лоренца.

Наявність спінової частини у тензорі моменту імпульсу та спіну тісно пов'язано із симетрією тензора енергії-імпульсу відносно перестановки індексів. Якщо тензор енергії-імпульсу симетричний, то кутова та спінова частини тензора моменту імпульсу та спіну зберігаються (у термінах теорії поля) окремо. Якщо ж провести процедуру "занесення" спінової частини до кутової тензору моменту імпульсу та спіну, то одночасно із цим можна симетризувати тензор енергії-імпульсу. Така процедура називається процедурою Беліфанте. $\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Закон збереження моменту імпульсу

Момент імпульсу — одна з фізичних величин, для якої діє фундаментальний закон збереження.

Назвемо замкненою (в сенсі обертання) таку систему, для якої сума моментів зовнішніх сил $\mathbf {M}$ дорівнює нулю. Для такої системи

${\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\sum {\boldsymbol {M_{i}}}=0$,

звідки

$\mathbf {L} ={\text{const}}$.

Тобто, в замкненій системі момент імпульсу зберігається незмінним. Як випливає з теореми Нетер, таке твердження є наслідком ізотропності (тобто рівноцінності всіх напрямів) простору.

Момент імпульсу у квантовій фізиці

В квантовій механіці момент імпульсу визначається не як фізична величина, а як оператор над вектором стану.

Оператор моменту імпульсу має вигляд:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

де r та p — оператори радіус-вектора та імпульсу системи.

Для вільної частинки без спіну та електричного заряду, оператор моменту імпульсу може бути наведений в такій формі:

$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )$, де $\nabla$ — оператор Гамільтона.

Окремі компоненти оператора моменту імпульсу не комутують між собою. Внаслідок цього їх неможливо визначити одночасно. Детальніше дивись в статті оператор кутового моменту.

Див. також

• Теорема про зміну моменту імпульсу системи

Джерела

• Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
• Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
• Биденхарн Л., Лаук Дж. Угловой момент в квантовой физике. Теория и приложения. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 302 с.
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — М. : Наука, 1976. — 664 с.
• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. — М. : Мир, 1990. — 720 с.
• Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л. : Наука, 1975. — 441 с.
• Зар Р. Теория углового момента. О пространственных эффектах в физике и химии. — М. : Мир, 1993. — 352 с.