Antiprismă
Antiprisme n-gonale uniforme | |
![]() | |
Antiprismă hexagonală | |
Descriere | |
---|---|
Tip | poliedru uniform în sensul de poliedru semiregulat |
Fețe | 2 n-goane, 2n triunghiuri |
Laturi (muchii) | 4n |
Vârfuri | 2n |
χ | 2 |
Configurația vârfului | 3,3,3,n |
Simbol Schläfli | { }⊗{n}[1] s{2,2n} sr{2,n} |
Simbol Conway | An |
Diagramă Coxeter | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Grup de simetrie | Dnd, [2+,2n], (2*n), ordin 4n |
Grup de rotație | Dn, [2,n]+, (22n), ordin 2n |
Poliedru dual | trapezoedru n-gonal dual uniform |
Proprietăți | Convexe, cu fețe poligoane regulate, tranzitiv pe fețe |
Desfășurată | |
![]() |
În geometrie, o antiprismă n-gonală este un poliedru compus din două copii paralele ale unui poligon cu n laturi, conectate printr-o bandă de triunghiuri alternante. Antiprismele sunt o subclasă de prismatoide și sunt un tip (degenerat) de poliedre snub.
Antiprismele sunt similare cu prismele, cu excepția faptului că bazele sunt rotite una față de alta și că fețele laterale sunt triunghiuri în loc de patrulatere.
În cazul unei baze regulate cu „n” laturi, de obicei se ia în considerare cazul în care copia sa este rotită cu un unghi de . O regularitate suplimentară se obține atunci când linia care leagă centrele bazelor este perpendiculară pe planele bazelor, făcând-o o antiprismă dreaptă. Ca fețe are cele două baze n-gonale și, conectate la aceste baze, 2n triunghiuri isoscele.
Antiprisme uniforme
[modificare | modificare sursă]O antiprismă uniformă are, în afară de fețele de bază, 2n triunghiuri echilaterale ca fețe. Antiprismele uniforme formează o clasă infinită de poliedre tranzitive pe vârfuri, la fel cu prismele uniforme. Pentru n = 2 se obține tetraedrul regulat ca antiprismă digonală (antiprismă degenerată), iar pentru n = 3 octaedrul regula ca antiprismă triunghiulară (antiprismă nedegenerată).
Poliedrele duale ale antiprismelor sunt trapezoedrele. Existența lor a fost discutată și numele lor a fost inventat de Johannes Kepler, deși este posibil ca acestea să fi fost cunoscute anterior de Arhimede, întrucât îndeplinesc aceleași condiții pe vârfuri ca și poliedrele arhimedice.
Familia antiprismelor n-gonale uniforme | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Imagine poliedru | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
... | Antiprismă apeirogonală | |
Imagine pavare sferică | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Imagine pavare plană | ![]() | |||||
Configurația vârfului n.3.3.3 | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | 9.3.3.3 | 10.3.3.3 | 11.3.3.3 | 12.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
Diagrame Schlegel
[modificare | modificare sursă]A3 | ![]() A4 |
![]() A5 |
![]() A6 |
![]() A7 |
![]() A8 |
Coordonate carteziene
[modificare | modificare sursă]Coordonatele carteziene ale vârfurilor unei antiprisme drepte cu baze n-gonale (regulate) și triunghiuri isoscele sunt
unde k poate lua valori între 0 și 2n − 1; dacă triunghiurile sunt echilaterale,
- .
Volumul și aria anvelopei
[modificare | modificare sursă]Fie a lungimea laturii unei antiprisme uniforme. Atunci, volumul este
iar aria anvelopei este
- .
Poliedre înrudite
[modificare | modificare sursă]Există un set infinit de antiprisme trunchiate, inclusiv o formă de simetrie inferioară a octaedrului trunchiat (antiprismă triunghiulară trunchiată). Acestea pot fi alternate pentru a crea antiprisme snub, dintre care două sunt poliedre Johnson, iar antiprisma triunghiulară snub este o formă de simetrie inferioară a icosaedrului.
Antiprisme | ||||
---|---|---|---|---|
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
... |
s{2,4} | s{2,6} | s{2,8} | s{2,10} | s{2,2n} |
Antiprisme trunchiate | ||||
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
... |
ts{2,4} | ts{2,6} | ts{2,8} | ts{2,10} | ts{2,2n} |
Antiprisme snub | ||||
J84 | Icosaedru | J85 | Fețe neregulate... | |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
... |
ss{2,4} | ss{2,6} | ss{2,8} | ss{2,10} | ss{2,2n} |
Simetrie
[modificare | modificare sursă]Grupul de simetrie al unei antiprisme drepte cu bază regulată și fețele laterale triunghiuri isoscele este Dnd de ordinul 4n, cu excepția cazului tetraedrului, care are grupul de simetrie mai mare Td de ordinul 24, care are trei versiuni ale D2d ca subgrupuri, și cazul octaedrului, care are grupul de simetrie mai mare Oh de ordinul 48, care are patru versiuni ale D3d ca subgrupuri.
Grupul de simetrie admite simetria față de centru (inversiunea față de punctul din centru) dacă și numai dacă n este impar.
Grupul de rotații este Dn de ordinul 2n, cu excepția cazului tetraedrului, care are un grup de rotații mai mare T de ordinul 12, care are trei versiuni ale D 2 ca subgrupuri, și cazul octaedrului, care are grupul de rotații mai mare O de ordinul 24, care are patru versiuni ale D3</ sub> ca subgrupuri.
Antiprisme stelate
[modificare | modificare sursă]![]() 5/2-antiprismă |
![]() 5/3-antiprismă | ||||
![]() 9/2-antiprismă |
![]() 9/4-antiprismă |
![]() 9/5-antiprismă |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Antiprisms.pdf/page1-300px-Antiprisms.pdf.jpg)
Antiprismele stelate uniforme sunt denumite după poligoanele stelate, {p/q}, de la bazle lor și există în versiuni directe sau retrograde. Formele retrograde, numite și retroprisme, au figurile vârfurilor intersectate și sunt notate cu fracții inversate, p/(p - q) în loc de p/q, de exemplu 5/3 în loc de 5/2.
În formele retrograde, dar nu și în formele directe, triunghiurile care unesc bazele stelate intersectează axa simetriei de rotație.
Unele antiprisme stelate retrograde cu baze poligonale convexe regulate nu pot fi construite cu muchii de lungimi egale, deci nu sunt poliedre uniforme.
Compușii de antiprisme stelate pot fi de asemenea construiți acolo unde p și q au factori comuni. De exemplu: o antiprismă stelată 10/4 este compusul a două antiprisme stelate 5/2.
Antiprisme stelate cu bazele având până la 12 laturi, după simetrii | |||||
---|---|---|---|---|---|
Grup de simetrie sferică | Stelate uniforme | Alte stelate | |||
D4d [2+,8] (2*5) |
![]() 3.3/2.3.4 | ||||
D5h [2,5] (*225) |
![]() 3.3.3.5/2 |
![]() 3.3/2.3.5 | |||
D5d [2+,10] (2*5) |
![]() 3.3.3.5/3 | ||||
D6d [2+,12] (2*6) |
![]() 3.3/2.3.6 | ||||
D7h [2,7] (*227) |
![]() 3.3.3.7/2 |
![]() 3.3.3.7/4 | |||
D7d [2+,14] (2*7) |
![]() 3.3.3.7/3 | ||||
D8d [2+,16] (2*8) |
![]() 3.3.3.8/3 |
![]() 3.3.3.8/5 | |||
D9h [2,9] (*229) |
![]() 3.3.3.9/2 |
![]() 3.3.3.9/4 | |||
D9d [2+,18] (2*9) |
![]() 3.3.3.9/5 | ||||
D10d [2+,12] (2*10) |
![]() 3.3.3.10/3 | ||||
D11h [2,11] (*2.2.11) |
![]() 3.3.3.11/2 |
![]() 3.3.3.11/4 |
![]() 3.3.3.11/6 | ||
D11d [2+,22] (2*11) |
![]() 3.3.3.11/3 |
![]() 3.3.3.11/5 |
![]() 3.3.3.11/7 | ||
D12d [2+,24] (2*12) |
![]() 3.3.3.12/5 |
![]() 3.3.3.12/7 | |||
... |
Note
[modificare | modificare sursă]- ^ en Norman Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN: 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
Bibliografie
[modificare | modificare sursă]- en Anthony Pugh (). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. ISBN 0-520-03056-7. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms
Vezi și
[modificare | modificare sursă]Legături externe
[modificare | modificare sursă]Materiale media legate de antiprismă la Wikimedia Commons
- en Eric W. Weisstein, Antiprism la MathWorld.
- en Nonconvex Prisms and Antiprisms
- en Paper models of prisms and antiprisms
|