Pavare triunghiulară

Descriere
Pavare triunghiulară

Tip	pavare uniformă
Configurația vârfului	3.3.3.3.3.3 (sau 3⁶)
Configurația feței	V6.6.6 (sau V6³)
Simbol Wythoff	6 \| 3 2 3 \| 3 3 \| 3 3 3
Simbol Schläfli	{3,6} {3^[3]}
Diagramă Coxeter	=
Grup de simetrie	p6m, [6,3], (*632)
Grup de rotație	p6, [6,3]⁺, (632) p3, [3^[3]]⁺, (333)
Poliedru dual	pavare hexagonală
Proprietăți	tranzitivă pe fețe, pe laturi și pe vârfuri
Figura vârfului

În geometrie pavarea triunghiulară este una dintre cele trei pavări regulate, adică pavări uniforme ale planului euclidian, și este singura pavare în care dalele (formele constitutive) nu sunt paralelogoane. Deoarece unghiul intern al triunghiului echilateral este de 60°, șase triunghiuri care se întâlnesc într-un punct acoperă 360°. Pavarea triunghiulară are simbolul Schläfli {3,6}.

Celelalte două pavări regulate sunt pavarea pătrată și pavarea hexagonală.

Colorare uniformă

Există 9 colorări uniforme diferite ale unei pavări triunghiulare. (Culorile celor 6 triunghiuri din jurul unui vârf sunt notate prin indici: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Trei dintre ele pot fi derivate din altele prin repetarea culorilor: 111212 și 111112 din 121213 combinând 1 și 3, în timp ce 111213 este redusă de la 121314.^[1]

Există o clasă de colorare arhimedică, 111112, (marcată cu un *) care nu este 1-uniformă, care conține rânduri alternative de triunghiuri în care fiecare treime este colorată. Exemplul prezentat este 2-uniform, dar există o infinitate de astfel de colorări arhimedice care pot fi create prin deplasări orizontale arbitrare ale rândurilor.

111111	121212	111222	112122	111112(*)

p6m (*632)	p3m1 (*333)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213

p31m (3*3)			p3 (333)

Rețeaua A2 și împachetarea cercurilor

Aranjamentul vârfurilor pavării triunghiulare se numește rețea A₂.^[2] Este cazul bidimensional al unui fagure simplectic.

Rețeaua A*
2 (numită și A3
2) poate fi construită prin reuniunea tuturor celor trei rețele A₂ și este echivalentă cu rețeaua A₂.

+

= duală a

=


Pavare A₂ triunghiulară uniformă, cu triunghiuri în 4 culori, înrudită cu poliedrul geodezic ca {3,6+}_2,0	Rețeaua A* 2 în trei pavări triunghiulare: + +	Împachetare optimă a cercurilor

Vârfurile pavării triunghiulare sunt centrele celei mai dense împachetări a cercurilor.^[3] Fiecare cerc este în contact cu alte 6 cercuri din împachetare. Densitatea împachetării este ^$π$⁄_√12 = 90,69 %. diagramă Voronoi^⁠(d) a unei pavări triunghiulare este un hexagon, astfel că pavarea Voronoi, pavarea hexagonală, are o legătură directă cu împachetarea cercurilor.

Variații geometrice

Pavările triunghiulare pot fi realizate cu topologia echivalentă {3,6} ca pavare regulată (6 triunghiuri în jurul fiecărui vârf). Cu fețe identice, (tranzitive pe fețe) și vârfuri, există 5 variații. Simetria dată presupune că toate fețele sunt de aceeași culoare.^[4]

Triunghi scalen
simetrie p2
Triunghi scalen
simetrie pmg
Triunghi isoscel
simetrie cmm
Triunghi dreptunghic
simetrie cmm
Triunghi echilateral
simetrie p6m

Poliedre și pavări înrudite

Pavările plane sunt legate de poliedre. Plasarea în jurul unui vârf a mai puține triunghiuri decât permite planul lasă un gol care permite plierea într-o piramidă. Acestea pot fi extinse la poliedrele platonice: cinci, patru și trei triunghiuri pe un vârf definesc un icosaedru, un octaedru și, respectiv, un tetraedru.

Această pavare este legată topologic de secvența de poliedre regulate cu simbolurile Schläfli {3,n}, continuând în planul hiperbolic.

Variante de pavări regulate cu simetrie: *n32
Sferice				Euclid.	Hiperb. compacte		Paraco.	Hiperbolice necompacte

3.3	3³	3⁴	3⁵	3⁶	3⁷	3⁸	3^∞	3¹²ⁱ	3⁹ⁱ	3⁶ⁱ	3³ⁱ

Este înrudită din punct de vedere topologic și cu secvența poliedrelor Catalan cu configurația feței Vn.6.6 și, de asemenea, continuă în planul hiperbolic.

V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6

Construcții Wythoff pentru pavări hexagonale și triunghiulare

Ca și la poliedrele uniforme, există opt pavări uniforme care au baza pavarea hexagonală regulată (sau pavarea triunghiulară duală).

Reprezentând dalele colorate roșu pe fețele originale, galben în vârfurile originale și albastru de-a lungul laturilor originale, există 8 forme, dintre care 7 sunt topologic distincte. (Pavarea triunghiulară trunchiată este identică din punct de vedere topologic cu pavarea hexagonală.)

Pavări hexagonale/triunghiulare uniforme
Domenii fundamentale	Simetrie: [6,3], (*632)							[6,3]⁺, (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	t{3,6}	{3,6}	rr{6,3}	tr{6,3}	sr{6,3}


Config.	6³	3.12.12	(6.3)²	6.6.6	3⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Pavări cu simetrie triunghiulară
Wythoff	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 3 3 \|	\| 3 3 3
Coxeter
Imagine Figura vârfului	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Note

^ Tilings and Patterns, p.102-107
^ en „The Lattice A2”.
^ en Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, pattern 1
^ Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481

Bibliografie

en Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN: 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
en Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (1987). Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1193-1. (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings, p. 58-65, Chapter 2.9 Archimedean and Uniform colorings pp. 102–107)
en Williams, Robert (1979). The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X. , p. 35
en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass (2008). The Symmetries of Things, ISBN: 978-1-56881-220-5 [1]

Legături externe

en Eric W. Weisstein, Triangular Grid la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Regular tessellation la MathWorld.
en Eric W. Weisstein, Uniform tessellation la MathWorld.
en Klitzing, Richard. „2D Euclidean tilings x3o6o - trat - O2”.

Portal Matematică

v • d • m Faguri convecși regulați și uniformi în dimensiunile 2–8
Spațiu	Familia	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
E²	Pavare uniformă	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Hexagonală
E³	Fagure convex uniform	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	4-fagure uniform	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	Fagure 24-celule
E⁵	5-fagure uniform	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	6-fagure uniform	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	7-fagure uniform	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	8-fagure uniform	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E^n-1	(n−1)-fagure uniform	{3^[n]}	δ_n	hδ_n	qδ_n	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] Tilings and Patterns, p.102-107

[2] „The Lattice A2”.

[Critchlow-3] Order in Space: A design source book, Keith Critchlow, p.74-75, pattern 1

[4] Tilings and Patterns, from list of 107 isohedral tilings, p.473-481

[1]

[2]

[3]

[4]