Gauss’ lov

Gauss' lov sier at den elektriske fluksen som strømmer gjennom en lukket flate er lik med den elektriske ladningen innenfor flaten.

Gauss' lov er en naturlov som uttrykker sammenhengen mellom en fordeling av elektrisk ladning og det elektriske feltet den skaper. Den tilsvarer Ampères sirkulasjonslov som beskriver den tilsvarende sammenhengen mellom en elektrisk strøm og det magnetfeltet den skaper. De utgjør to av de fire fundamentale Maxwell-ligningene for de elektromagnetiske feltene.

Loven kan føres tilbake til skallteoremet for gravitasjonsfeltet. Det skyldes at både Newtons gravitasjonslov som beskriver dette og Coulombs lov for det elektriske feltet, sier at begge feltene avtar omvendt proporsjonalt med kvadratet av avstanden fra kilden. På matematisk form kan dette uttrykkes ved det lukkete flateintegralet

$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} ={1 \over \varepsilon _{0}}Q$

for det elektriske feltet E over en vilkårlig flate S som omslutter den elektriske ladningen Q og ε₀ er den elektriske konstanten i SI-systemet som benyttes her. Dette er Gauss' lov på integralform og sier at den elektriske fluksen gjennom en lukket flate er gitt ved den totale, elektriske ladningen innenfor den samme flaten. Er der ingen ladninger innen flaten, må like mye fluks gå inn i den som ut av den.

Ved å benytte divergensteoremet til Gauss samtidig som den totale ladningen Q uttrykkes som et volumintegral over ladningstettheten ρ, kan den samme loven skrives på differensialformen

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={1 \over \varepsilon _{0}}\rho$

Det er denne sammenhengen med divergensteoremet som i stor grad har knyttet denne fysiske loven til den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss som arbeidet med disse problemstillingene på begynnelsen av 1800-tallet.

Selv om den differensielle formuleringen av loven anses som den fundamentale, er det ofte integralformen som kan benyttes til å forenkle praktiske beregninger av det elektriske feltet. Det skjer når man ut fra symmetribetraktninger kan anta en form på feltet som gjør det mulig å utføre overflateintegrasjonen direkte.

Dielektrisk materiale

I et dielektrisk materiale finnes det atomer og molekyler som inneholder elektroner som normalt er bundet til disse bestandelene. Utsettes materialet for et elektrisk felt, vil det forskyve elektronene og dermed forandre materialets egenskaper. Dette kan beskrives ved å innføre en polarisasjon P som gir et gjennomsnittlig uttrykk for denne elektriske forskyvningen.

Da ladningsfordelingen i materialet blir litt annerledes, vil også det elektriske feltet forandres på grunn av Gauss' lov. Denne fører dermed til at det er naturlig å innføre forskyvningsfeltet

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P}$

som kan beregnes fra de frie ladningene som eventuelt finnes i materialet eller som gir opphav til det elektriske feltet. Gauss' lov kan nå omskrives til

$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {S} =Q_{f}$

hvor Q_f  er den totale mengde med slike frie ladninger innenfor integrasjonsflaten S. De bundne ladningene i materialet bidrar derfor ikke til dette fenomenologiske forskyvningsfeltet. På differensiell form skrives loven på tilsvarende måte som

${\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =\rho _{f}$

der ρ_f  er tettheten av frie ladninger.

For et lineært materiale er polarisasjonen direkte proporsjonal med det ytre feltet E. Det betyr at man kan skrive

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$

Her er ε = ε₀ε_r  permittiviteten til materialet når det dimensjonsløse tallet ε_r  er den «relative permeabilteten». Det er en karakteristisk materialegenskap som kan beregnes eller direkte måles.

Eksempel

En positiv ladning omsluttes av en kule-flate for beregning av feltet i radiell retning.

Det enkleste eksempel på bruk av Gauss' lov går tilbake til den opprinnelige formuleringen av Newtons gravitasjonslov eller ekvivalent Coulombs lov. Det gjelder feltet fra elektrisk ladning Q. Denne kan ha en utstrekning, men så lenge som ladningsfordelingen er symmetrisk om sentrum, vil feltet være pekende utover i en retningen angitt ved den radielle enhetsvektoren e_r med en størrelse E(r) i en avstand r. Ved å omgi ladningen med en fiktiv kuleflate med samme sentrum, vil også det differensielle flateelementet være rettet utover i samme retning og kan skrives som d S = dS e_r. Integralformen av Gauss' lov gir nå

$\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {S} =\oint _{S}\!dSE(r)=E(r)\oint _{S}\!dS=E(r)\cdot 4\pi r^{2}={1 \over \varepsilon _{0}}Q$

som gir direkte størrelsen til feltet som

$E(r)={Q \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}$

Dette bekrefter bare at loven er ekvivalent til Coulombs lov i dette tilfellet. Men hvis ladningsfordelingen har en endelig utstrekning, tillater den også en like enkel utledning av feltet inni fordelingen. Det tilsvarer beregning av gravitasjonsfeltet innenfor en sfærisk symmetrisk massefordeling ved bruk av Newtons skallteorem.

En rett linjefordeling av ladning omslutt-es her av en sylinderflate med radius r = R.

På tilsvarende måte kan feltet finnes utenfor en uendelig lang og rett linjefordeling av elektrisk ladning. Igjen vil symmetrien i problemet tilsi at det elektriske feltet er rettet radielt utover hvis fordelingen har en konstant linjetetthet λ. Omgir man den nå med en endelig sylinder med radius r og lengde a, vil ladningen innenfor denne være Q = aλ. Da ingen elketrisk fluks vil gå gjennom endeflatene til sylinderen, er det kun overflaten S = 2π ra som bidrar i Gauss' lov. Det radielle feltet E(r) er dermed gitt ved

$E(r)\cdot 2\pi ra={1 \over \varepsilon _{0}}a\lambda$

som betyr at

$E(r)={\lambda \over 2\pi \varepsilon _{0}r}$

Hadde denne lineære ladningsfordelingen en endelig utstrekning, ville feltet inne i denne kunne beregnes på tilsvarende måte så lenge som den fortsatt er symmetrisk fordelt.

Kondensator

Et lag med dielektrisk materiale mellom kondensatorplatene vil bli polarisert med bundne ladninger på overflaten.

Feltet utenfor et tilstrekkelig stort plan med total ladning Q, vil stå vinkelrett på planet og peke bort fra det på begge sider hvis ladningen er positiv. Det vil ha en størrelse som kan finnes fra Gauss' lov på integralform. Man tenker seg en omsluttende sylinder med endeflater parallelle med planet. Da ikke noe av den elektriske fluksen vil gå gjennom sideflatene i sylinderen, blir derfor feltet E utenfor planet lik med Q/2Aε₀. Her er σ = Q/A  ladningstettheten på planet md areal A. Feltet E = σ/2ε₀  er derfor uavhengig av avstanden til planet. Dette enkle resultatet er også i overensstemmelse med en mer detaljert beregning basert på bruk av Coulombs lov.

Den enkleste kondensator består av to slike parallelle plater som har like store og motsatte ladninger ±Q. Feltet utenfor kondensatoren finnes igjen fra Gauss' lov ved å omslutte begge platene med en sylinder med endeflatene parallelle til kondensatorplatene. Da den totale ladningen er null innenfor denne sylinderen, er derfor det elektriske feltet lik null overalt utenfor kondensatoren. Dette kan også forstås ved at feltene ±σ/2ε₀  fra hver av platene kansellerer hverandre i dette området da de her har motsatt retning.

I området mellom kondensatorplatene vil derimot disse to feltene adderes sammen og gi et totalt felt E = σ/ε₀. Dette resultatet finnes også fra Gauss' lov når sylinderen plasseres med en endeflate mellom kondensatorplatene. Avhengig av hvilken av platene den omslutter, får man da resulatet Q/Aε₀ da feltet gjennom den andre endeflaten utenfor kondensatoren er null.

Hvis man nå plasserer et lag med et dielektrisk materiale mellom kondensatorplatene, vil det elektrisk feltet i dette området forandres da materialet vil polariseres. Men forskyvningsfeltet D er uavhengig av disse bundne ladningene og kun bestemt av de frie ladningene på kondensatorplatene. Gauss' lov for dette feltet gir da med en gang at D = Q/A = σ. I luftgapet mellom en kondensatorplate og materialet vil det elektriske feltet fremdeles ha verdien σ/ε₀. Men inni materialet med permittiviten ε har det verdien E = D/ε = σ/ε som er mindre da ε > ε₀. Dette skyldes at på overflaten av dielektrikumet er det blitt indusert bundne ladninger med en flateladningstetthet σ_b = P, det vil si

$P=D-\varepsilon _{0}E=\sigma -{\sigma \over \varepsilon _{r}}={\sigma \chi _{e} \over 1+\chi _{e}}$

etter å ha uttrykt den relatvive permittiviteten ved den elektriske susceptibiliteten χ_e  som ε_r = 1 + χ_e. På den siden som vender mot kondensatorplaten med +Q, er denne bundne ladningen negativ og omvendt på den andre siden. Disse overflateladningene bidrar til å redusere det elektriske feltet i materialet. Når susceptibiliteten blir veldig stor, vil disse bundne ladningene omtrent balansere helt ut det elektriske feltet inni det elektriske materialet. Kondensatoren får da en tilsvarende stor kapasitet.

Se også

• Maxwells likninger