Maxwells likninger

Maxwells likninger beskriver hvordan det elektromagnetiske feltet oppfører seg i tid og rom. Uttrykt ved elektriske- og magnetiske felt, består de av fire partielle differensialligninger som ble oppstilt av James Clerk Maxwell i 1865. De forklarer alle elektromagnetiske fenomen og beskriver sammenhengen mellom disse feltene og hvordan de er koblet til elektrisk ladete partikler og annen materie.

Maxwells fire likninger er

• Gauss' lov, som sier hvordan ladning skaper elektriske felter
• Det finnes ingen magnetiske monopoler
• Ampères sirkulasjonslov (med viktig tillegg fra Maxwell) som sier hvordan strøm produserer magnetiske felt
• Faradays induksjonslov, som sier hvordan endring av magnetiske felt skaper elektriske felt

Maxwells likninger har som konsekvens at lys er elektromagnetiske bølger som beveger seg med konstant fart (lysfarten). Likningene er Lorentz-invariante og kompatible med både spesiell- og generell relativitetsteori. På atomnivå gjelder ikke likningene lenger og de må erstattes med kvanteelektrodynamikk.

Matematisk formulering

Matematisk sett er Maxwells likninger partielle differensialligninger og kan skrives både på differensialform og integralform. I tillegg til de fire likningene trengs også to materiallover som er spesifikke for materialene en studerer.

Navn	Differensialform	Integralform
Gauss' lov	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	$\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho dV$
Gauss' lov for magnetisme (fravær av magnetiske monopoler)	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$
Faradays induksjonslov	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$
Ampères sirkulasjonslov (med Maxwells tillegg)	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A}$

hvor betydningen av hvert symbol i SI-enheter er i tabellen under:

Symbol	Mening	SI-enhet
$\mathbf {E}$	elektrisk felt også kalt elektrisk feltstyrke	volt per meter
$\mathbf {H}$	magnetisk felt også kalt magnetisk feltstyrke	ampere per meter
$\mathbf {D}$	elektrisk forskyvningsfelt også kalt elektrisk flukstetthet	coulomb per kvadratmeter
$\mathbf {B}$	magnetisk flukstetthet også kalt magnetisk induksjon også kalt magnetisk felt	tesla, eller ekvivalent, weber per kvadratmeter
$\ \rho \$	fri elektrisk ladningstetthet, ikke inkludert dipollading bundet i et materiale	coulomb per kubikkmeter
$\mathbf {J}$	fri strømtetthet, ikke inkludert polarisasjon eller magnetiseringsstrømmer bundet i et materiale	ampere per kvadratmeter
$d\mathbf {A}$	differensielt vektorelement av overflateareal A, med infinitesimal liten størrelse og retning vinkelrett til overflate S	kvadratmeter
$dV\$	differensialelement av volum V innesluttet av overflate S	kubikkmeter
$d\mathbf {l}$	differensialelement av vektor med kurvelengde tangensielt til kurven C som inneslutter overflate S	meter
$\nabla \cdot$	divergensoperator	per meter
$\nabla \times$	rotasjonsoperator	per meter

Materiallover

Maxwells likninger kan ikke løses uten to tilleggsbetingelser som beskriver materialet. Disse kommer i form av polarisasjonstetthet P (måles i coulomb per kvadratmeter) og magnetiseringstetthet M (måles i ampere per meter).

$\mathbf {P} =\chi _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E}$

$\mathbf {M} =\chi _{m}\mathbf {H}$

D- og B-feltene er relatert til E og H ved

$\mathbf {D} \ \ =\ \ \varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} \ \ =\ \ (1+\chi _{e})\varepsilon _{0}\mathbf {E} \ \ =\ \ \varepsilon \mathbf {E}$

$\mathbf {B} \ \ =\ \ \mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )\ \ =\ \ (1+\chi _{m})\mu _{0}\mathbf {H} \ \ =\ \ \mu \mathbf {H}$

hvor

$\chi _{e}$ er den elektriske susceptibiliteten til materialet,

$\chi _{m}$ er den magnetiske susceptibiliteten til materialet,

ε er permittiviteten til materialet og

μ er permeabiliteten til materialet.