Тэарэма Гаўса

Клясычная электрадынаміка

Электрычнасьць · Магнэтызм Электрастатыка Закон Кулёна Прынцып супэрпазыцыі Тэарэма Гаўса Эквіпатэнцыйная паверхня Электрычны дыпольны момант Электрычны зарад Электрычная індукцыя Электрычнае поле Электрастатычны патэнцыял Магнітастатыка Закон Бія — Савара — Лапласа Закон Ампэра Магнітны момант Магнітнае поле Магнітны струмень Электрадынаміка Дыполь Сіла Лёрэнца Ток зруху Уніпалярная індукцыя Раўнаньні Максўэла Электрычны ток Электрарухальная сіла Электрамагнітная індукцыя Электрамагнітнае выпраменьваньне Электрамагнітнае поле Электрычны ланцуг Закон Ома Законы Кірхгофа Індуктыўнасьць Радыёхвалявод Рэзанатар Электрычная ёмістасьць Электрычная праводнасьць Супор Электрычны імпэданс Вядомыя навукоўцы Гэнры Кавэндыш Майкл Фарадэй Андрэ-Мары Ампэр Густаў Робэрт Кірхгоф Джэймз Кларк Максўэл Гэнры Рудольф Гэрц Альбэрт Абрахам Майкэльсан Робэрт Эндрус Мілікэн

Тэарэ́ма Га́ўса — адзін з асноўных законаў электрадынамікі, вызначае сувязь паміж струмянём вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню і поўным электрычным зарадам у аб'ёме, які атачае гэтая паверхня. Тэарэма Гаўса ўваходзіць у сыстэму раўнаньняў Максўэла.

Тэарэма Гаўса для напружанасьці электрычнага поля

Тэарэма Гаўса для поля і зарадаў у вакуўме фармулюецца наступным чынам:

Струмень вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню не залежыць ад яе плошчы і формы, а вызначаецца сумаю электрычных зарадаў, што знаходзяцца ўнутры яе.

СГС	СІ
$\Phi _{\mathbf {E} }=4\pi Q,$	$\Phi _{\mathbf {E} }={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}},$

дзе

• $\Phi _{\mathbf {E} }\equiv \oint \limits _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$ — струмень вэктару напружанасьці электрычнага поля праз замкнёную паверхню $S$;
• $Q$ — поўны зарад у аб'ёме, які атачае паверхня $S$;
• $\varepsilon _{0}$ — электрычная канстанта.

Тэарэму Гаўса можна сфармуляваць і ў дыфэрэнцыйнай форме:

СГС	СІ
$\mathrm {div} \,\mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho ,$	$\mathrm {div} \,\mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}},$

дзе $\rho$ — аб'ёмная шчыльнасьць электрычнага зараду.

Вывад з закону Кулёна

Доказ: Струмень вэктара напружанасьці пунктавага зараду праз элемэнт паверхні dS складае

$d\Phi ={\vec {E}}{\vec {dS}}={\frac {qdScos\varphi }{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}={\frac {qdS_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}$, дзе $dS_{r}$ праекцыя dS на роўніцу, пэрпэндыкулярную да вэктару ${\vec {r}}$, накіраванага ад зараду да паверхні.

Велічыня ${\frac {dS_{r}}{r^{2}}}$ уяўляе сабой цялесны кут $d\Omega$, пад якім з пункту знаходжаньня зараду бачная паверхня dS. Таму, калі зарад знаходзіцца ўнутры паверхні, яго агульны струмень праз замкнёную паверхню роўны

$\Phi =\oint {\frac {qdS_{r}}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}}=\oint {\frac {qd\Omega }{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}={\frac {q}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon }}\oint d\Omega ={\frac {q}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}$

Калі ж поле ствараецца зарадам, які знаходзіцца па-за паверхняй, дык яго струмень праз паверхню роўны нулю, таму што любая простая, якая праходзіць праз гэты зарад, перасякае паверхню цотную колькасьць разоў: адзін раз заходзячы ў яе і другі раз — выходзячы.

Улічваючы гэта, а таксама прынцып супэрпазыцыі электрычных палёў, агульны струмень праз замкнёную паверхню можна знайсьці як суму струменяў кожнага з зарадаў, што стварае поле. Пры гэтым можна ўлічваць толькі тыя зарады, што знаходзяцца ўнутры. Адсюль атрымаем:

$\Phi =\Sigma \Phi _{i}={\frac {\Sigma q_{i}}{\varepsilon _{0}\varepsilon }}$

Тэарэма Гаўса зьяўляецца вынікам закона Кулёна. Яна ўжываная і да іншых палёў, напружанасьць якіх вызначаецца законам, падобным да кулёнаўскага. Так, яе можна ўжыць у дачыненьні да гравітацыйнага поля, прычым ролю напружанасьці будзе выконваць паскарэньне вольнага падзеньня, а замест зараду будзе фігураваць маса («гравітацыйны зарад»):

$\Phi =4\pi GM$

дзе G — унівэрсальная гравітацыйная канстанта.