గాస్ నియమం

No charge is enclosed by the sphere. Electric flux through its surface is zero.

భౌతిక శాస్త్రంలో, గాస్ యొక్క ఫ్లక్స్ సిద్దాంతం అని కూడా పిలువబడే గాస్ యొక్క నియమం, వచ్చే విద్యుత్ క్షేత్రానికి ఎలెక్ట్రిక్ చార్జ్ యొక్క పంపిణీకి సంబంధించింది.

ఈ నియమాన్ని 1835 లో కార్ల్ ఫ్రెడెరిక్ గాస్ రూపొందించారు, కానీ 1867 వరకు ప్రచురించబడలేదు. ఇది మాక్ష్వెల్ యొక్క నాలుగు సమీకరణాలలో ఒక్కటి.మిగిలిన మూడు సమీకరణాలు: గాస్ యొక్క అయస్కాంతత్వం నియమం, ఫెరడే యొక్క ఇండక్షన్ అనబడు చట్టం, మాక్స్వెల్స్ సవరణతో ఆంపియర్ యొక్క నియమం. గాస్ యొక్క చట్టం నుండి కౌలుంబ్ చట్టం, కౌలుంబ్ నియమం నుండి గాస్ నియమం ఉత్పాదించవచ్చు.

నియమం యొక్క గుణాత్మక వివరణ

గాస్ యొక్క నియమం ఏం చెబుతుందంటే:

    ఏ మూసి ఉన్న ఉపరితలం ద్వారానైనా ఉండే విద్యుత్ ప్రవాహము పరివేష్టిత ఎలెక్ట్రిక్ చార్జ్ నిష్పత్తిలో ఉంటుంది. [3]

గాస్ యొక్క నియమానికి భౌతిక శాస్త్రంలో ఉన్న ఎన్నో ఇతర నియమాలతోతో సన్నిహిత గణిత సారూప్యత ఉంది.ఉదాహరణకు:గాస్ యొక్క అయస్కాంతత్వ నియమం, గాస్ యొక్క గురుత్వాకర్షణ నియమం. నిజానికి, ఏ "విలోమ-స్క్వేర్ లా" అయినా గాస్ యొక్క నియమం మాదిరిగా రూపొందించవచ్చు: ఉదాహరణకు, గాస్ యొక్క నియమం కూడా చదరపు కులూబ్మ్స్ చట్టానికి సమానం, గురుత్వాకర్షణ కోసం గాస్ యొక్క నియమం కూడా గురుత్వాకర్షణ చదరపు న్యూటన్ సూత్రంకి సమానం.

గాస్ యొక్క నియమం ఆంపియర్ యొక్క అయస్కాంతత్వం సూత్రానికి ఎలక్ట్రికల్ అనలాగ్ లాగా వ్యవహరిస్తుంది.

వారు గాస్ యొక్క సిద్ధాంతం అని కూడా వ్యాప్తి సిద్ధాంతం ద్వారా సంబంధించిన నుండి చట్ట సమగ్ర రూపం, అవకలన రూపంలో వెక్టర్ కలనం ఉపయోగించి గణితశాస్త్ర వ్యక్తం చేయవచ్చు, రెండు సమానంగా ఉంటాయి. బదులుగా ఈ రూపాలను కూడా రెండు విధాలుగా వ్యక్తం చేయవచ్చు: విద్యుత్ క్షేత్రం E, మొత్తం ఎలెక్ట్రిక్ చార్జ్ మధ్య ఒక సంబంధం పరంగా, లేదా విద్యుత్ స్థానభ్రంశం క్షేత్రం D, ఉచిత విద్యుత్ చార్జ్ పరంగా .

E-field పాల్గొన్న సమీకరణ

గాస్ యొక్క చట్టాన్ని ఎలక్ట్రిక్ క్షేత్రం E లేదా విద్యుత్ స్థానభ్రంశం D ద్వారా పేర్కొనవచ్చు . ఈ విభాగం E తో కొన్ని రూపాలు చూపిస్తుంది ; D తో రూపం క్రింద ఉంది.

సమగ్ర రూపం

గాస్ యొక్క చట్టం ఈ విధంగా వ్యక్తం చేయవచ్చు:

   :$\Phi _{E}={\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}$

ΦE ఒక క్లోజ్డ్ ఉపరితల S (ఈ ఉపరితల లోపల ఉన్న వాల్యూమ్ V) ద్వారా ఉన్న విద్యుత్ ప్రవాహము ; Q S లోపల మొత్తం చార్జ్, εం విద్యుత్ స్థిరాంకం. విద్యుత్ ప్రవాహము ΦE విద్యుత్ క్షేత్రం సమగ్ర ఉపరితలగా నిర్వచించారు:

    :$\Phi _{E}=$ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

E విద్యుత్ రంగంలో ఉన్న, dA ప్రాంతం యొక్క ఒక అణుమాత్రమైన మూలకం ప్రాతినిధ్యం ఒక సదిశరాశి, [నోట్ 1], • రెండు సదిశ యొక్క డాట్ ఉత్పత్తిని సూచిస్తుంది.

ఫ్లక్స్ విద్యుత్ క్షేత్రంలో ఒక సమగ్ర నిర్వచించవచ్చు కాబట్టి, గాస్ లాలో ఈ వ్యక్తీకరణను సమగ్ర రూపం అంటారు.

సమగ్ర రూపం వర్తింపచేయడం

ప్రధాన వ్యాసం: గాస్సియన్ ఉపరితల కపాసిటెన్స్ (గాస్ యొక్క చట్టం) కూడా చూడండి

విద్యుత్ క్షేత్రం యొక్క విలువ ప్రతిచోటా తెలిసి ఉంటే, గాస్ యొక్క చట్టం ఎలెక్ట్రిక్ చార్జ్ యొక్క పంపిణీ కనుగొనేందుకు ఉపయోగపడుతుంది.ఏ ప్రాంతంలోనైనా విద్యుత్ ఫ్లక్స్ కనుగొనేందుకు విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని సమగ్రపరచాలి.దీని నుండి ఆ ప్రాంతంలో చార్జ్ యొక్క విలువ కనుక్కోవచ్చు.

అయితే, చాలా తరచుగా, మనం రివర్స్ సమస్యని పరిష్కరించాలిసిన అవసరం వస్తుంది.అంటే మనకు విద్యుత్ చార్జ్ ల గురించి తెలిస్తే ఆ ప్రాంతంలో విద్యుత్ క్షేత్రం విలువ కనుక్కోవాలి.మీకు ఒక తలము గుండా మొత్తం ఫ్లక్స్ తెలిస్తే, ఆ ఫ్లక్స్ ఉపరితలం యొక్క వేరు వేరు ప్రదేశాలలో బయటికి వెళ్లవచ్చు లేదా లోపలికి రావచ్చు. కాబట్టి విద్యుత్ క్షేత్రం గురించి దాదాపు ఏ సమాచారం రాదు.

ఒక్క సౌష్టవం ఉన్న కేసులు మినహాయిస్తే, మిగిలిన కేసుల్లో విద్యుత్ క్షేత్రం ఉపరితల గుండా ఒకే విధంగా వెళ్లదు. ఇలాంటి పరిస్థితిల్లో (సౌష్టవం ఉన్నప్పుడు) మొత్తం ఫ్లక్స్ తెలిస్తే, క్షేత్రం ప్రతి పాయింట్ వద్ద ఊహించబడింది చేయవచ్చు. గాస్ యొక్క చట్టాన్నిఉపయోగించే సౌష్ఠవాల సాధారణ ఉదాహరణలు స్థూపాకార సౌష్టవం, సమతల సౌష్టవం, గుండ్రని ఆకృతి . ఇలాంటి ఉపరితలాల మీద విద్యుత్ క్షేత్రం యొక్క విలువ కనుక్కున్న ఉదాహరణలు గాసియన్ ఉపరితలం అనే వ్యాసంలో చూడండి.

డిఫరెన్షియల్ రూపం

భిన్నత్వం సిద్ధాంతం ద్వారా గాస్ యొక్క చట్టం ప్రత్యామ్నాయంగా అవకలన రూపంలో వ్రాయవచ్చు:

   :$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$

∇ • E ఎలెక్ట్రిక్ క్షేత్రం యొక్క డైవర్జెన్స్, ρ మొత్తం ఎలెక్ట్రిక్ చార్జ్ సాంద్రత.

సమగ్ర, అవకలన రూపాలు సమతుల్యత

ప్రధాన వ్యాసం: డైవర్జెన్స్ సిద్ధాంతం

సమగ్ర, అవకలన రూపాలు డైవర్జెంస్ సిద్ధాంతం ద్వారా, గణితశాస్త్ర సమానంగా ఉంటాయి. ఇక్కడ వాదన మరింత ప్రత్యేకంగా ఉంటుంది.

    నిరూపణ [షో] అవుట్లైన్

D-field పాల్గొన్న సమీకరణ

ఇవి కూడా చూడండి: మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు

ఉచిత, బౌండ్, మొత్తం ఛార్జ్

ప్రధాన వ్యాసం: ఎలక్ట్రిక్ ధ్రువణ

సాధారణ పాఠ్య పుస్తకం పరిస్థితుల్లో ప్రభవించే ఎలెక్ట్రిక్ చార్జ్ ని"ఉచిత ఛార్జ్" అని అంటారు. ఉదాహరణకు స్థిరవిద్యుత్ లో బదిలీ అయిన చార్జ్, లేదా ఒక కెపాసిటర్ ప్లేట్ మీద ఉన్న చార్జ్ ని "ఉచిత చార్జ్" అని అంటారు. దీనికి విరుద్ధంగా, "బౌండ్ ఛార్జ్" విద్యున్నిరోధక (polarizable) పదార్థాల సందర్భంలో మాత్రమే పుడుతుంది. (అన్ని పదార్థాలు కొంత వరకు polarizable ఉన్నాయి.) అటువంటి పదార్థాలు విద్యుత్ క్షేత్రంలో పెట్టి ఉన్నప్పుడు, ఎలక్ట్రాన్లు వాటి అణువుల ఆకర్షణ శక్తికి లోబడి ఉంటాయి, కానీ ఫీల్డ్ ప్రతిస్పందనగా ఎలక్ట్రాన్లు సూక్ష్మ దూరం బదిలీ అవ్వడంవల్ల ఎలక్ట్రోన్లు అణువుల యొక్క ఒక వైపే ఎక్కువగా ఉంటాయి.. ఈ సూక్ష్మ స్థానభ్రంశం వల్ల ఒక సూక్ష్మ నికర చార్జ్ పంపిణీ ఏర్పడుతుంది, ఈ "బౌండ్ ఛార్జ్" ఏర్పరుస్తుంది.

సూక్ష్మంగా, అన్ని చార్జ్ ప్రాథమికంగా అదే అయినప్పటికీ, కొన్ని ప్రయోగాత్మక కారణాల వల్ల ఉచిత చార్జ్, బౌండు చార్జ్ లను వేరు చేయడం అవసరం ఉంటుంది.దీని ఫలితంగా గాస్ యొక్క చట్టం, కొన్నిసార్లు D, ఉచిత చార్జ్ ని ఉపయోగించి కూడా వ్యక్తం చేయవచ్చు.

సమగ్ర రూపం

గాస్ లాలో ఈ సూత్రం మొత్తం ఛార్జ్ రూపం analogously చెపుతుంది:

    :$\Phi _{D}=Q_{\text{free}}\!$

ΦD ఉపరితల S (ఉపరితల వాల్యూమ్ V కలిగివుంటుంది) ద్వారా D-field ధార, Qfree ఉపరితలలో ఉన్న ఉచిత చార్జ్ .

$\Phi _{D}=$ ${\scriptstyle S}$ $\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A}$

డిఫరెన్షియల్ రూపం

ఉచిత చార్జ్మాత్రమే ఉన్న గాస్ లా యొక్క అవకలన రూపం:

    :$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}}$

∇ • D విద్యుత్ స్థానభ్రంశం క్షేత్రం యొక్క డైవర్జెన్స్, ρfree ఉచిత విద్యుత్ సాంద్రత.

మొత్తం, ఉచిత చార్జ్ ప్రకటనల సమతుల్యత

    ఉచిత చార్జ్ పరంగా గాస్ లాలో సూత్రీకరణలు, మొత్తం ఛార్జ్ ఉన్న సూత్రీకరణలు సమానం అని రుజువు [చూపించు].

సరళ పదార్థాలకు సమీకరణ

సజాతీయ, సమదైశిక, nondispersive, సరళ వస్తువులలో, E, D మధ్య ఒక సంబంధం ఉంది:

   :$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$

ε పదార్థం యొక్క పర్మిట్టివిటి . వాక్యూమ్ లో (aka ఖాళీ స్థలం), ε = εం. ఈ పరిస్థితులలో, గాస్ యొక్క చట్టం సవరణ

   :$\Phi _{E}={\frac {Q_{\text{free}}}{\varepsilon }}$

సమగ్ర రూపం కోసం,

    :$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{\text{free}}}{\varepsilon }}$ అవకలన రూపం కోసం.

కౌలాంబ్ సంబంధం

కౌలాంబ్ చట్టం నుండి గాస్ చట్టం యొక్క ఉత్పాదన

గాస్ యొక్క చట్టం కౌలాంబ్ చట్టం నుండి చేయవచ్చు.

    నిరూపణ [షో] అవుట్లైన్

కౌలాంబ్ స్థిర చార్జ్ లకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. ఈ వ్యుత్పత్తి ఆధారంగా కదిలే చార్జ్ లకు గాస్ యొక్క చట్టం వర్తించడానికి ఎటువంటి కారణం లేదు అని గమనించండి. నిజానికి, గాస్ యొక్క చట్టం కదిలే చార్జ్ లకు కూడా వర్తిస్తుంది, ఈ విషయంలో గాస్ యొక్క చట్టం కౌలాంబ్ కంటే సాధారణ ఉంది.

గాస్ యొక్క చట్టం నుండి కౌలాంబ్ చట్టం ఉత్పాదన

స్ట్రిక్ట్లీ గాస్ యొక్క చట్టం E యొక్క కర్ల్ కి (హేల్మ్హొల్ట్జ్ వియోగం, ఫెరడే సూత్రం చూడండి) సంబంధించి ఏ సమాచారం ఇవ్వదు కాబట్టి కౌలాంబ్ చట్టం, గాస్ యొక్క చట్టం నుండి వ్యుత్పత్తి చేయడం సాధ్యం కాదు.కానీ ఒకవేళ ఒక పాయింట్ చార్జ్ నుండి విద్యుత్ క్షేత్రం వలయాకారంలో-సిమ్మెట్రిక్ అని ఊహిన్చుకుంటే గాస్ యొక్క చట్టం నుండి కౌలుమ్బ్ యొక్క చట్టాన్ని రుజువు చేయవచ్చు. స్థిర చార్జ్ విషయంలో ఈ ఊహ, సరిగ్గా నిజం, ఛార్జ్ చలనంలో కొంతవరకు నిజం).