Llei de Gauss

Video sobre les aplicaciones de la Llei de Gauss

En física la llei de Gauss, rellacionada col teorema de la diverxencia o teorema de Gauss,^[1] establez que'l fluxu de ciertos campos al traviés d'una superficie zarrada ye proporcional a la magnitú de les fontes de dichu campu qu'hai nel interior de la mesma superficie. Estos campos son aquellos que la so intensidá escai como la distancia a la fonte al cuadráu. La constante de proporcionalidad depende del sistema d'unidaes emplegáu.

Aplicar al campu electrostático y al gravitatoriu. Les sos fontes son la carga llétrica y la masa, respeutivamente. Tamién puede aplicase al campu magnetostático.

La llei foi formulada por Carl Friedrich Gauss en 1835, pero nun foi publicáu hasta 1867.^[2] Ye una de los cuatro ecuaciones de Maxwell, que formen la base d'electrodinámica clásica (les otres trés son la llei de Gauss pal magnetismu, la llei de Faraday de la inducción y la llei de Ampère cola correición de Maxwell). La llei de Gauss puede ser utilizada pa llograr la llei de Coulomb,^[3] y viceversa.

Fluxu del campu llétricu

El fluxu (denotado como $\Phi$ ) ye una propiedá de cualesquier campu vectorial referida a una superficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Pa un campu llétricu, el fluxu ( $\Phi _{Y}$ ) midir pol númberu de llinies de fuercia que traviesen la superficie.

Pa definir al fluxu llétrico con precisión considérese la figura, qu'amuesa una superficie zarrada arbitraria allugada dientro d'un campu llétricu.

La superficie atópase estremada en cuadraos elementales $\Delta S$ , cada unu de los cualos ye lo suficientemente pequeñu como por que pueda ser consideráu como un planu. Estos elementos d'área pueden ser representaos como vectores ${\vec {\Delta S}}$ , que la so magnitú ye la mesma área, la direición ye perpendicular a la superficie y escontra fuera.

En cada cuadráu elemental tamién ye posible trazar un vector de campu llétricu ${\vec {Y}}$ . Una y bones los cuadraos son tan pequeños como se quiera, $Y$ puede considerase constante en tolos puntos d'un cuadráu dau.

${\vec {Y}}$ y ${\vec {\Delta S}}$ caractericen a cada cuadráu y formen un ángulu $\theta$ ente sigo y la figura amuesa una vista amplificada de dos cuadraos.

El fluxu, entós, defínese como sigue:

(1) ${\Phi }_{Y}=\sum {\vec {Y}}\cdot \Delta {\vec {S}}$

Esto ye:

(2) ${\Phi }_{Y}=\oint _{S}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {s}}$

Fluxu pa una superficie cilíndrica en presencia d'un campu uniforme

Supóngase una superficie cilíndrica asitiada dientro d'un campu uniforme ${\vec {Y}}$ tal como amuesa la figura:

El fluxu ${\Phi }_{Y}$ puede escribise como la suma de tres términos, (a) una integral na tapa izquierda del cilindru, (b) una integral na superficie cilíndrica y (c) una integral na tapa derecha:

(3) ${\Phi }_{Y}=\oint {\vec {Y}}\cdot d{\vec {s}}={\int }_{(a)}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {S}}+{\int }_{(b)}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {S}}+{\int }_{(c)}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {S}}$

Pa la tapa esquierda, l'ángulu $\theta$ , pa tolos puntos, ye de $\pi$ , $Y$ tien un valor constante y los vectores $dS$ son toos paralelos.

Entós:

(4) ${\int }_{(a)}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {S}}=\int Y\cos(\pi )dS=-Y\int dS=-YE$

siendo $S=\pi R^{2}$ l'área de la tapa. Análogamente, pa la tapa derecha:

(5) ${\int }_{(c)}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {S}}=\int Y\cos(0)dS=Y\int dS=YE$

Finalmente, pa la superficie cilíndrica:

(6) ${\int }_{(b)}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {S}}=\int Y\cos {\bigg (}{\pi \over 2}{\bigg )}dS=0$

Por consiguiente: da cero una y bones les mesmes llinies de fuercia qu'entren, dempués salen del cilindru.

(7) ${\Phi }_{Y}=-YE+0+YE\,\!=0$

Fluxu pa una superficie esférica con una carga puntual nel so interior

Considérese una superficie esférica de radiu r con una carga puntual q nel so centru tal como amuesa la figura. El campu llétricu ${\vec {Y}}$ ye paralelu al vector superficie ${\vec {dS}}$ , y el campu ye constante en tolos puntos de la superficie esférica.

En consecuencia:

(8) $\Phi _{Y}=\int _{S}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {S}}=\int _{S}Y\cos \theta dS=\int _{S}Y\cos(0)dS=Y\int _{S}dS=Y4\pi r^{2}$

Deducciones

Deducción de la llei de Gauss a partir de la llei de Coulomb

Esti teorema aplicáu al campu llétricu creáu por una carga puntual ye equivalente a la llei de Coulomb de la interacción electrostática.

Y={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}

La llei de Gauss puede deducise matemáticamente al traviés del usu del conceutu d'ángulu sólidu, que ye un conceutu bien similar a los factores de vista conocíos na tresferencia de calor por radiación.

L'ángulu sólidu $\Delta {\Omega }$ que ye subtendido por $\Delta {A}$ sobre una superficie esférica, defínese como:

$\Delta {\Omega }={\frac {\Delta {A}}{r^{2}}}$

siendo $r$ el radiu de la esfera.

como l'área total de la esfera ye $4\pi r^{2}$ l'ángulu sólidu pa ‘'tola esfera ye:

$\Delta {\Omega }={\frac {\Delta {A}}{r^{2}}}={\frac {4\pi r^{2}}{r^{2}}}=4\pi$

la unidá d'esti ángulu ye l'estereorradián (sr)

Si l'área $\Delta {A}$ nun ye perpendicular a les llinies que salen del orixe que subtiende a $\Delta {\Omega }$ , búscase la proyeición normal, que ye:

$\Delta {\Omega }={\frac {\Delta {A}{~}{\hat {n}}\cdot {\hat {r}}}{r^{2}}}={\frac {\Delta {A}\cos {\theta }}{r^{2}}}$

Si tiense una carga "q" arrodiada por una superficie cualesquier, pa calcular el fluxu que traviesa esta superficie ye necesariu atopar ${\vec {Y}}\cdot {\hat {n}}{}\Delta {A}$ pa cada elementu d'área de la superficie, pa depués sumalos. Como la superficie que puede tar arrodiando a la carga puede ser tan complexa como quiera, ye meyor atopar una rellación senciella pa esta operación:

$\Delta {\phi }={\vec {Y}}\cdot {\hat {n}}{~}\Delta {A}={\frac {Kq}{r^{2}}}{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}\Delta {A}=Kq\Delta {\Omega }$

D'esta manera $\Delta {\Omega }$ ye'l mesmu ángulu sólidu subentendido por una superficie esférica. como s'amosó un pocu más arriba $\Delta {\Omega }=4\pi$ pa cualquier esfera, de cualquier radio. d'esta forma al sumar tolos fluxos que traviesen a la superficie queda:

$\phi _{netu}=\oint _{S}{\vec {Y}}\cdot {\hat {n}}d{A}=Kq\oint _{0}^{4\pi }d{\Omega }=4\pi kq={\frac {q}{\epsilon _{0}}}$

que ye la forma integral de la llei de Gauss. La llei de Coulomb tamién puede deducise al traviés de Llei de Gauss.

Forma diferencial ya integral de la Llei de Gauss

Forma diferencial de la llei de Gauss

Tomando la llei de Gauss en forma integral.

\oint _{S}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {A}}={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV

Aplicando al primer términu'l teorema de Gauss de la diverxencia queda

\int _{V}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Y}})dV={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV

Como dambos llaos de la igualdá tienen diferenciales volumétricas, y esta espresión tien de ser cierta pa cualquier volume, solo puede ser que:

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Y}}={\frac {\rho }{\epsilon _{o}}}

Que ye la forma diferencial de la Llei de Gauss (nel vacíu).

Esta llei puede xeneralizase cuando hai un dieléctricu presente, introduciendo'l campu de desplazamientu llétricu ${\vec {D}}$ , d'esta manera la Llei de Gauss puede escribise na so forma más xeneral como

{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho

Finalmente ye d'esta forma en que la llei de Gauss ye realmente útil pa resolver problemes complexos de maneres relativamente sencielles.

Forma integral de la llei de Gauss

La so forma integral utilizada nel casu d'una distribución estensa de carga puede escribise de la manera siguiente:

\Phi =\oint _{S}{\vec {Y}}\cdot d{\vec {A}}={1 \over \epsilon _{o}}\int _{V}\rho \ dV={\frac {Q_{A}}{\epsilon _{o}}}

onde $\Phi$ ye'l fluxu llétrico, ${\vec {Y}}$ ye'l campu llétricu, $d{\vec {A}}$ ye un elementu diferencial del área A sobre la cual realízase la integral, $Q_{\mathrm {A} }$ ye la carga total zarrada dientro del área A, $\rho$ ye la densidá de carga nun puntu de $V$ y $\epsilon _{o}$ ye la permitividad llétrica del vacíu.

Interpretación

La llei de Gauss puede ser utilizada pa demostrar que nun esiste campu llétricu dientro d'una xaula de Faraday. La llei de Gauss ye la equivalente electrostática a la llei de Ampère, que ye una llei de magnetismu. Dambes ecuaciones fueron darréu integraes nes ecuaciones de Maxwell.

Esta llei puede interpretase, en electrostática, entendiendo'l fluxu como una midida del númberu de llinies de campu que traviesen la superficie en cuestión. Pa una carga puntual esti númberu ye constante si la carga ta contenida pola superficie y ye nulu si ta fuera (yá que hai'l mesmu númberu de llinies qu'entren como que salen). Amás, al ser la densidá de llinies proporcional a la magnitú de la carga, resulta qu'esti fluxu ye proporcional a la carga, si ta zarrada, o nulu, si nun lu ta.

Cuando tenemos una distribución de cargues, pol principiu de superposición, namái vamos tener que considerar les cargues interiores, resultando la llei de Gauss.

Sicasí, anque esta llei deducir de la llei de Coulomb, ye más xeneral qu'ella, yá que se trata d'una llei universal, válida en situaciones non electrostáticas nes que la llei de Coulomb nun ye aplicable.

Aplicaciones

Distribución llinial de carga

Sía una recta cargada a lo llargo de la exa z. Tomemos como superficie cerrada un cilindru de radio r y altor h cola so exa coincidente a la exa z. Espresando'l campu en coordenaes cilíndriques tenemos que por cuenta de la simetría de reflexón al respective de un planu z=cte el campu nun tien componente na exa z y l'integración a les bases del cilindru nun contribúi, de cuenta qu'aplicando la llei de Gauss:

\oint _{S}{\vec {Y}}d{\vec {S}}=\int _{S_{\rm {llateral}}}{\vec {Y}}d{\vec {S}}={\frac {\int \lambda dl}{\epsilon _{0}}}

Por cuenta de la simetría del problema'l campu va tener direición radial y podemos sustituyir el productu angular pol productu de módulos (una y bones la direición de la superficie llateral tamién ye radial).

\int _{S_{\rm {llateral}}}YdS=Y\int _{S_{\rm {llateral}}}dS=Y2\pi rh={\frac {\lambda h}{\epsilon _{0}}}

Estenando'l campu y añadiendo la so condición radial llogramos:

{\vec {Y}}={\frac {\lambda }{2\pi r\epsilon _{0}}}{\hat {r}}

Distribución esférica de carga

Considérese una esfera uniformemente cargada de radiu R. La carga esistente nel interior d'una superficie esférica de radio r ye una parte de la carga total, que se calcula multiplicando la densidá de carga pol volume de la esfera de radiu r:

$q=\rho {\frac {4}{3}}\pi r^{3}$

Si Q ye la carga de la esfera de radiu R, entós, tiense:

$Q=\rho {\frac {4}{3}}\pi R^{3}$

Estremando miembru a miembru dambes espresiones y operando apropiadamente:

$q=Q{\left({\frac {r}{R}}\right)}^{3}$

Como se demostró nuna seición anterior ${\Phi }_{Y}\,\!=Y4\pi r^{2}$ y teniendo en cuenta que según la llei de Gauss ${\Phi }_{Y}\,\!={\frac {q}{\epsilon _{o}}}$ , llógrase:

$Y4\pi r^{2}={\frac {q}{\epsilon _{o}}}$

Poro, pa puntos interiores de la esfera:

$Y={\frac {1}{4\pi {\epsilon }_{0}}}{\frac {Q{\left({\frac {r}{R}}\right)}^{3}}{r^{2}}}={\frac {Q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {r}{R^{3}}}$

Y pa puntos esteriores:

$Y={\frac {1}{4\pi {\epsilon }_{0}}}{\frac {Q}{r'^{2}}}$

Nel casu de que la carga distribuyir na superficie de la esfera, esto ye, nel casu de que fuera conductora, pa puntos esteriores a la mesma la intensidá del campu taría dada pola segunda espresión, pero pa puntos interiores a la esfera, el valor del campu sería nulu una y bones la superficie gaussiana que se considerara nun zarraría carga dalguna.

Llei de Gauss pal campu magnetostático

Al igual que pal campu llétricu, esiste una llei de Gauss pal magnetismu, que s'espresa nes sos formes integral y diferencial como

\oint {\vec {B}}({\vec {r}})\cdot d{\vec {S}}=0

\nabla \cdot {\vec {B}}=0

Esta llei espresa la inesistencia de cargues magnétiques o, como se conocen davezu, monopolos magnéticos. Les distribuciones de fontes magnétiques son siempres neutres nel sentíu de que tien un polu norte y un polu sur, polo que'l so fluxu al traviés de cualquier superficie zarrada ye nulu.

Nel hipotéticu casu de que s'afayara esperimentalmente la esistencia de monopolos, esta llei tendría de ser modificada p'afaer les correspondientes densidaes de carga, resultando una llei en tou análoga a la llei de Gauss pal campu llétricu. La Llei de Gauss pal campu magnético quedaría como

\nabla \cdot {\vec {B}}=\rho _{m}

onde $\rho _{m}$ densidá de corriente ${\vec {J}}_{m}$ , que obliga a modificar la llei de Faraday

Casu gravitacional

Dada la semeyanza ente la llei de Newton de la gravitación universal y la llei de Coulomb, puede deducise una llei análoga pal campu gravitatoriu, que escríbese

$\oint {\vec {G}}({\vec {r}})\cdot d{\vec {S}}=-4\pi GM_{\rm {int}}$

$\nabla \cdot {\vec {G}}=-4\pi G\rho _{m}$

siendo G la constante de gravitación universal, y G vectorial el campu gravitatoriu. El signu menos nesta llei y el fechu de que la masa siempres sía positiva significa que'l campu gravitatoriu siempres ye curiosu y diríxese escontra les mases que lo crean.

Sicasí, a diferencia de la llei de Gauss pal campu llétricu, el casu gravitatoriu ye namái averáu y aplícase puramente a mases pequeñes en reposu, pa les cualos ye válida la llei de Newton. Al modificar la teoría de Newton por aciu la Teoría de la Relatividá xeneral, la llei de Gauss dexa de ser cierta, yá que tienen d'incluyise la gravitación causada pola enerxía y l'efectu del campu gravitatoriu nel mesmu espaciotiempo (lo que modifica la espresión de los operadores diferenciales ya integrales).

- Ye posible comparar dambes yá que podemos midir el fluxu de propiedaes que mengüen col cuadráu de la distancia , y esto tener de mancomún la fórmula del campu llétricu cola del campu gravitatoriu : Campu Llétricu=K*q/r^2 y Campu Gravitatorio = G*m/r^2 .

Ver tamién

Referencies

↑ The Feynman Lectures on Physics, Vol II.
↑ Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution.
↑ Halliday, David; Resnick, Robert (1970) Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc, páx. 452–53.

Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica, 3ᵉʳ ed., Nueva York: Wiley.

Enllaces esternos

[1] The Feynman Lectures on Physics, Vol II.

[2] Bellone, Enrico (1980). A World on Paper: Studies on the Second Scientific Revolution.

[3] Halliday, David; Resnick, Robert (1970) Fundamentals of Physics. John Wiley & Sons, Inc, páx. 452–53.

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