Fermat-tallene

Fermat-tallene er i matematikken spesielle positive heltall på formen

F_{n}=2^{2^{n}}+1

,

der tallet n i eksponenten er null eller ett positivt heltall. De er oppkalt etter Pierre de Fermat som på 1600-tallet arbeidet med å finne en formel for primtall.

Ved å sette inn n = 0 opp til n = 4 fremkommer de fem første Fermat-tallene F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257 og F₄ = 65537. De er alle primtall. Fermat mente at også de neste tallene ville være primtall. Men i 1732 viste den sveitsiske matematiker Leonhard Euler at F₅ var et sammensatt tall. Han fant at F₅ = 4294967297 = 641 × 6700417. Siden den tid er ingen andre av de større tallene funnet å være primtall.

De åtte første Fermat-tallene er:

F₀	=	2¹	+	1	=	3
F₁	=	2²	+	1	=	5
F₂	=	2⁴	+	1	=	17
F₃	=	2⁸	+	1	=	257
F₄	=	2¹⁶	+	1	=	65,537
F₅	=	2³²	+	1	=	4,294,967,297
					=	641 × 6,700,417
F₆	=	2⁶⁴	+	1	=	18,446,744,073,709,551,617
					=	274,177 × 67,280,421,310,721
F₇	=	2¹²⁸	+	1	=	340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,457
					=	59,649,589,127,497,217 × 5,704,689,200,685,129,054,721
F₈	=	2²⁵⁶	+	1	=	115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,937
					=	1,238,926,361,552,897 × 93,461,639,715,357,977,769,163,558,199,606,896,584,051,237,541,638,188,580,280,321

Med bruk av elektroniske regnemaskiner har man frem til 2015 vist at alle Fermat-tallene opp til n = 32 er sammensatte. En fullstendig faktorisering av disse er bare gjort opp til n = 11. Det største, kjente Fermat-tallet som man har vist er sammensatt, er F_3329780. Skrevet ut, ville det inneholde 10^1002363 siffer.

Historie

Den franske matematiker Pierre de Fermat gjorde på 1600-tallet flere, meget grunnleggende oppdagelser innen matematikken som frem til i dag har stor betydning, både teoretisk og praktisk. Mange av disse var innen aritmetikken hvor han også studerte egenskapene til primtallene. I sammenheng med å finne en formel for disse, viste han at om et tall av formen 2^k + 1, hvor k > 0 er et heltall, skulle være et primtall, så måtte k være en potens av 2, det vil si k = 2ⁿ. Herav trakk han den omvendte konklusjonen, nemlig at alle tall av denne formen ville være primtall uten at han hadde noe bevis for det.

Dette resultatet kommuniserte han til sin franske kollega Marin Mersenne. Denne var også opptatt med primtallene og foreslo at alle tall av formen M_p = 2^p - 1 ville være primtall når p var et sådant. Disse kalles Mersenne-primtall. Senere viste også dette seg heller ikke å være generelt riktig for alle p.

I 1796 viste den 19-årige tyske studenten Carl Friedrich Gauss at man kunne geometrisk konstruere en heptadekagon. Det er en regulær mangekant med 17 kanter. Grunnen er at 17 er et Fermat-tall som samtidig også er primtall. Mer generelt følger at man kan konstruere geometrisk alle regulære polygoner med et sidetall som er produktet av forskjellige Fermat-primtall. Da man kjenner til fem slike, betyr det man kan konstruere i alt 31 regulære polygoner med et odde antall sidekanter. I tillegg kan sidekantene i disse halveres så mange ganger man ønsker og dermed lage større polygoner. Det betyr at alle regulære polygoner med

N=2^{k}p_{1}\cdots p_{m}

sider kan konstrueres når k er et heltall og p₁,⋅⋅⋅,p_m er forskjellige Fermat-primtall.

Litteratur

Jon Reed og Johan Aarnes, Matematikk i vår tid, Universitetsforlaget, Oslo (1967).
Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Volume 1, Oxford University Press, New York (1972). ISBN 978-0-19-506135-2.

Eksterne lenker

E.W. Weisstein, Fermat number, MathWorld.
MacTutor, Prime numbers, University of St. Andrews, Scotland.