비판정법 (比判定法, ratio test ) 또는 비율판정법 (比率判定法)은 궁극적으로 0이 아닌 실 , 복소 항 급수 의 수렴 여부를 항비의 극한을 통해 판정하는 방법이다. 장 르 롱 달랑베르 가 처음으로 출간하였다. 달랑베르 판정법 (d'Alembert's ratio test ), 코시 비율판정법 (Cauchy ratio test )으로도 불린다.[ 1]
내용
실수 또는 복소수 항의 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
에 대하여, an ≠ 0 이 충분히 큰 임의의 n 에 대해 성립하고, 극한
L
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
,
L
∈
[
0
,
+
∞
]
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,\ L\in [0,+\infty ]}
이 존재하는 경우,
L < 1 이면 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
은 절대수렴 한다.
L > 1 이면 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
은 발산 한다.
L = 1 이면 급수는 수렴할 수도, 발산할 수 도 있다.
L 이 존재하지 않는 경우 상극한 과 하극한 을 사용할 수도 있다. L = 1인 급수의 수렴성 판정을 위해 판정법을 확충할 수도 있다. 즉
R
=
lim sup
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
r
=
lim inf
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
이라 두었을 때,[ 2] [ 3]
R < 1 이면 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
은 절대수렴 한다.
r > 1 이면 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
은 발산한다.
|
a
n
+
1
a
n
|
≥
1
{\displaystyle \textstyle {\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1}}
이 충분히 큰 임의의 n 에 대해 성립하면(따라서 R , r ≥ 1), r 의 값과 상관없이 급수는 발산한다. 이는 |an |이 항상 양수이고 언젠가부터 증가수열이여서 0으로 수렴하지 않기 때문이다.
극한 L 이 존재할 때 L = R = r 이므로 뒤의 방법은 앞의 방법을 포함한다.
예
수렴급수
양항급수
∑
n
=
1
∞
n
2
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}}
은 비판정법에 의해 수렴한다:
L
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
n
+
1
2
n
+
1
n
2
n
=
1
2
<
1
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+1}{2^{n+1}}}{\frac {n}{2^{n}}}}={\frac {1}{2}}<1}
발산급수
양항급수
∑
n
=
1
∞
2
n
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n}}}
은 비판정법에 의해 발산한다:
L
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
=
lim
n
→
∞
2
n
+
1
n
+
1
2
n
n
=
2
>
1
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {2^{n+1}}{n+1}}{\frac {2^{n}}{n}}}=2>1}
판정 불가
아래 급수들은 각기 다른 수렴성을 지니며, L = 1이라서 첫 번째 방법으로는 수렴성을 단정짓지 못 한다.
발산급수
∑
n
=
1
∞
1
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
절대수렴급수
∑
n
=
1
∞
1
n
2
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
조건수렴급수
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}
그러나
∑
n
=
1
∞
1
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1}
의 경우 확충한 판정법의 세 번째 항목에 의해 발산한다는 것을 알 수 있다.
아래에 소개된 여러 판정법은 L = 1을 비롯한 비판정법이 소용없는 경우에 쓰일 수 있다.
증명
r > 1 일 때, 충분히 큰 임의의 n 에 대해 |an+1 | > |an | 이어서 0으로 수렴하지 않는다. 고로 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
는 발산한다. 아래 둘은 R < 1 일 때의 증명이다.
R < 1 이면, R < q < 1인 q 를 취했을 때,
|
a
n
+
1
a
n
|
<
q
{\displaystyle \textstyle {\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}<q}
가 임의의 n ≥ m 에 대해 성립하는 자연수 m 이 존재한다. 그러므로 임의의 n ≥ m 에 대해 |an | < qn-m |am |이 성립한다. 우변이 기하급수 로서 수렴하므로 비교판정법 에 의해 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
도 수렴한다.
근판정법과의 관계
비판정법은 근판정법 보다 약한 판정법이다. 비판정법이 유효한 모든 급수는 근판정법을 이용해서도 판정 가능하다. 부등식
lim inf
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
≤
lim inf
n
→
∞
|
a
n
|
n
≤
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
n
≤
lim sup
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq \liminf _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}
이 성립함에 따라
R
<
1
⇒
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
n
<
1
{\displaystyle R<1\Rightarrow \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1}
r
>
1
⇒
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
n
>
1
{\displaystyle r>1\Rightarrow \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}
이 있기 때문이다.
다음은 세 번째 부등식의 증명[ 4] 이다. 첫 번째 부등식의 증명은 비슷하고, 두 번째는 자명하다. 임의의 c > R 을 취했을 때, 임의의 n ≥ m 에 대해
|
a
n
+
1
a
n
|
≤
c
{\displaystyle \textstyle {\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}\leq c}
가 성립하는 자연수 m 이 존재한다. 따라서 |an | < cn-m |am |, 즉
|
a
n
|
n
≤
c
⋅
c
−
m
|
a
m
|
n
{\displaystyle \textstyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq c\cdot {\sqrt[{n}]{c^{-m}|a_{m}|}}}
이 임의의 n ≥ m 에게 성립한다. 양변에 상극한을 취하면
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
n
≤
c
{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq c}
을 얻어 세 번째 부등식이 증명된다.
라베 판정법
라베 판정법 (Raabe's test , 요제프 루트비히 라베 )은 다음과 같이 서술된다.
궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 항의 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
에 대해
R
=
lim sup
n
→
∞
n
(
|
a
n
a
n
+
1
|
−
1
)
{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }\;n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)}
r
=
lim inf
n
→
∞
n
(
|
a
n
a
n
+
1
|
−
1
)
{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\;n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)}
라 하면, 급수는 r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산한다.
증명
r > 1이면, 1 < p < q < r 이게끔 p , q 를 취했을 때, 어떤 자연수 m 이 있어 모든 n ≥ m 에 대해 다음이 성립한다.
n
(
|
a
n
a
n
+
1
|
−
1
)
>
q
>
n
(
(
1
+
1
n
)
p
−
1
)
{\displaystyle n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>q>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)}
r > 1 또한
n
(
(
1
+
1
n
)
p
−
1
)
→
p
{\displaystyle \textstyle n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\to p}
임에 따른 것이다.
따라서
|
a
n
a
n
+
1
|
>
(
n
+
1
n
)
p
{\displaystyle \textstyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{p}}
, 즉
|
a
n
+
1
a
n
|
<
1
/
(
n
+
1
)
p
1
/
n
p
{\displaystyle \textstyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {1/(n+1)^{p}}{1/n^{p}}}}
가 성립하며, 비교판정법과 p -급수 의 수렴에 의해
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
은 절대수렴한다.
R < 1이면, 어떤 자연수 m 이 있어 모든 n ≥ m 에 대해
|
a
n
a
n
+
1
|
<
1
+
1
n
{\displaystyle \textstyle {\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|<1+{\frac {1}{n}}}}
이 성립한다. 따라서
|
a
n
+
1
a
n
|
>
1
/
(
n
+
1
)
1
/
n
{\displaystyle \textstyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>{\frac {1/(n+1)}{1/n}}}
이며, 비교판정법과 조화급수 의 발산에 의해
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
은 발산한다.
예
급수
∑
n
=
1
∞
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
n
)
!
!
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}
의 발산성은 라베 판정법으로 간주된다:
L
=
lim
n
→
∞
n
(
2
n
+
2
2
n
+
1
−
1
)
=
lim
n
→
∞
n
2
n
+
1
=
1
2
<
1
{\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {2n+2}{2n+1}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2n+1}}={\frac {1}{2}}<1}
비판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 판정할 수 없다.
베르트랑 판정법
베르트랑 판정법 (Bertrand's test ): 궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 급수
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
에 대해,
R
=
lim sup
n
→
∞
ln
n
(
n
(
|
a
n
a
n
+
1
|
−
1
)
−
1
)
{\displaystyle R=\limsup _{n\to \infty }\;\ln n\left(n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)-1\right)}
r
=
lim inf
n
→
∞
ln
n
(
n
(
|
a
n
a
n
+
1
|
−
1
)
−
1
)
{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\;\ln n\left(n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)-1\right)}
라 하면, r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산이다.
증명
r > 1이면, 1 < p < q < r 이게끔 p , q 를 취했을 때, 어떤 자연수 m 이 있어 모든 n ≥ m 에 대해 다음이 성립한다.
ln
n
(
n
(
|
a
n
a
n
+
1
|
−
1
)
−
1
)
>
q
>
(
n
+
1
)
ln
n
(
(
ln
(
n
+
1
)
ln
n
)
p
−
1
)
→
p
{\displaystyle \ln n\left(n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)-1\right)>q>(n+1)\ln n\left(\,\left({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}}\right)^{p}-1\right)\to p}
따라서
|
a
n
+
1
a
n
|
<
1
/
[
(
n
+
1
)
ln
p
(
n
+
1
)
]
1
/
(
n
ln
p
n
)
{\displaystyle \textstyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {1/\left[(n+1)\ln ^{p}(n+1)\right]}{1/\left(n\ln ^{p}n\right)}}}
이며, 비교판정법과
∑
n
=
N
∞
1
n
ln
p
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=N}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{p}n}}}
의 수렴에 의해 급수는 절대수렴한다.
R < 1이면, 어떤 자연수 m 이 존재하여 임의의 n ≥ m 에 대해
|
a
n
a
n
+
1
|
<
1
+
1
n
+
1
n
ln
n
<
(
n
+
1
)
ln
(
n
+
1
)
n
ln
n
{\displaystyle \textstyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|<1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}<{\frac {(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}}}
이 성립한다. 비교판정법과
∑
n
=
N
∞
1
n
ln
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=N}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n}}}
의 발산에 의해 급수는 발산한다.
쿠머 판정법
쿠머 판정법 (Kummer's test , 에른스트 쿠머 ): 만약
a
n
>
0
{\displaystyle a_{n}>0}
인
∑
n
=
1
∞
a
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}
에 대해, 수열
c
n
>
0
{\displaystyle c_{n}>0}
이 존재하여
r
=
lim inf
n
→
∞
(
c
n
a
n
a
n
+
1
−
c
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle \textstyle r=\liminf _{n\to \infty }\left(c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\right)>0}
이 성립한다면, 양항급수는 수렴한다.
∑
n
=
1
∞
1
c
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}
이 발산하고
R
=
lim sup
n
→
∞
(
c
n
a
n
a
n
+
1
−
c
n
+
1
)
<
0
{\displaystyle \textstyle R=\limsup _{n\to \infty }\left(c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\right)<0}
이 성립한다면, 양항급수는 발산한다.
증명
r > 0이면, 어떤 c 가 존재하여, 충분히 큰 n ≥ m 에 대해
0
<
c
<
c
n
a
n
a
n
+
1
−
c
n
+
1
{\displaystyle \textstyle 0<c<c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}}
, 즉
0
<
c
a
n
+
1
<
c
n
a
n
−
c
n
+
1
a
n
+
1
{\displaystyle 0<ca_{n+1}<c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1}}
이 성립한다. 따라서 cn an 은 0을 하계로 하고 단조감소하므로 수렴한다. 망원급수
∑
n
=
1
∞
(
c
n
a
n
−
c
n
+
1
a
n
+
1
)
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1})}
은 이에 따라 수렴한다. 고로 양항급수가 수렴함을 비교판정법에 의해 알 수 있다.
R < 0이면, 충분히 큰 n ≥ m 에 대해 cn an < c n + 1a n + 1 이 성립하며, 따라서
c
n
a
n
>
c
m
a
m
c
n
{\displaystyle {\frac {c_{n}}{a_{n}}}>{\frac {c_{m}a_{m}}{c_{n}}}}
이 임의의 n > m 에게 성립한다. 비교판정법과
∑
n
=
1
∞
1
c
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}
이 발산한다는 조건에 의해 양항급수는 발산한다.
더 나아간 결론
쿠머 판정법의 전건과 후건은 사실 서로 동치이다. 즉,[ 5]
양수항급수가 수렴할 필요충분조건은, r > 0이게끔 하는 cn > 0이 존재한다는 것이다.
양수항급수가 발산할 필요충분조건은,
∑
n
=
1
∞
1
c
n
{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}}
이 발산하고 R < 0이게끔 하는 cn > 0이 존재한다는 것이다.
다르게 표현하면, 쿠머의 양항급수에 대한 판정법은 이론적으론 만능이다.
같이 보기
각주
참고 문헌
d'Alembert, J. (1768), 《Opuscules》 (영어) V , 171–183쪽 .
Apostol, Tom M. (1974), 《Mathematical analysis》 (영어) 2판, Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-00288-1 : §8.14.
Knopp, Konrad (1956), 《Infinite Sequences and Series》 (영어), New York: Dover publications, Inc., ISBN 0-486-60153-6 : §3.3, 5.4.
Rudin, Walter (1976), 《Principles of Mathematical Analysis》 (영어) 3판, New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 0-07-054235-X : §3.34.
Tao, Terence (2008). 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-18693-5 .
Tong, Jingcheng (1994). “Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive” (PDF) . 《American Mathematical Monthly》 101 (5): 450-452.
Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판, Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 :§2.36, §2.37
“Bertrand criterion” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 .
“Gauss criterion” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 .
“Kummer criterion” . 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4 .
Weisstein, Eric Wolfgang. “Bertrand's Test” . 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Gauss's Test” . 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Kummer's Test” . 《Wolfram MathWorld 》 (영어). Wolfram Research.