비 판정법

비판정법(比判定法, ratio test) 또는 비율판정법(比率判定法)은 궁극적으로 0이 아닌 실, 복소항 급수의 수렴 여부를 항비의 극한을 통해 판정하는 방법이다. 장 르 롱 달랑베르가 처음으로 출간하였다. 달랑베르 판정법(d'Alembert's ratio test), 코시 비율판정법(Cauchy ratio test)으로도 불린다.

내용

실수 또는 복소수 항의 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$에 대하여, a_n ≠ 0 이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하고, 극한

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,\ L\in [0,+\infty ]$

이 존재하는 경우,

• L < 1 이면 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대수렴한다.
• L > 1 이면 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 발산한다.
• L = 1 이면 급수는 수렴할 수도, 발산할 수 도 있다.

L이 존재하지 않는 경우 상극한과 하극한을 사용할 수도 있다. L = 1인 급수의 수렴성 판정을 위해 판정법을 확충할 수도 있다. 즉

$R=\limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

$r=\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

이라 두었을 때,

• R < 1 이면 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대수렴한다.
• r > 1 이면 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 발산한다.
• $\textstyle {\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1}$이 충분히 큰 임의의 n에 대해 성립하면(따라서 R, r ≥ 1), r의 값과 상관없이 급수는 발산한다. 이는 |a_n|이 항상 양수이고 언젠가부터 증가수열이여서 0으로 수렴하지 않기 때문이다.

극한 L이 존재할 때 L = R = r이므로 뒤의 방법은 앞의 방법을 포함한다.

예

수렴급수

양항급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n}{2^{n}}}$

은 비판정법에 의해 수렴한다:

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+1}{2^{n+1}}}{\frac {n}{2^{n}}}}={\frac {1}{2}}<1$

발산급수

양항급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}}{n}}$

은 비판정법에 의해 발산한다:

$L=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {2^{n+1}}{n+1}}{\frac {2^{n}}{n}}}=2>1$

판정 불가

아래 급수들은 각기 다른 수렴성을 지니며, L = 1이라서 첫 번째 방법으로는 수렴성을 단정짓지 못 한다.

• 발산급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1$
• 절대수렴급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$
• 조건수렴급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}$

그러나 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1$의 경우 확충한 판정법의 세 번째 항목에 의해 발산한다는 것을 알 수 있다.

증명

r > 1 일 때, 충분히 큰 임의의 n에 대해 |a_n+1| > |a_n| 이어서 0으로 수렴하지 않는다. 고로 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$는 발산한다. 아래 둘은 R > 1 일 때의 증명이다.

R < 1 이면, R < q < 1인 q를 취했을 때, $\textstyle {\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}<q$가 임의의 n ≥ m에 대해 성립하는 자연수 m이 존재한다. 그러므로 임의의 n ≥ m에 대해 |a_n| < q^n-m|a_m|이 성립한다. 우변이 기하급수로서 수렴하므로 비교판정법에 의해 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$도 수렴한다.

근판정법과의 관계

비판정법은 근판정법보다 약한 판정법이다. 비판정법이 유효한 모든 급수는 근판정법을 이용해서도 판정 가능하다. 부등식

$\liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq \liminf _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

이 성립함에 따라

$R<1\Rightarrow \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}<1$

$r>1\Rightarrow \limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1$

이 있기 때문이다.

다음은 세 번째 부등식의 증명이다. 첫 번째의 증명은 비슷하고, 두 번째는 자명하다. 임의의 c > R을 취했을 때, 임의의 n ≥ m에 대해 $\textstyle {\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|}\leq c$가 성립하는 자연수 m이 존재한다. 따라서 |a_n| < c^n-m|a_m|, 즉 $\textstyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq c\cdot {\sqrt[{n}]{c^{-m}|a_{m}|}}$이 임의의 n ≥ m에게 성립한다. 양변에 상극한을 취하면 다음을 얻어 세 번째 부등식이 증명된다.

$\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq c$

확장

다음 판정법들은 비판정법으로 판정 불가능한 경우(예를 들어 L = 1)에 쓰일 수 있다.

라베 판정법

라베 판정법(Raabe's test, 요제프 루트비히 라베)은 다음과 같이 서술된다.

궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 항의 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$에 대해

$R=\limsup _{n\to \infty }\;n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)$

$r=\liminf _{n\to \infty }\;n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)$

라 하면, 급수는 r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산한다.

증명

r > 1이면, 1 < p < q < r이게끔 p, q를 취했을 때, 어떤 자연수 N이 있어 모든 n ≥ N에 대해 다음이 성립한다.

$n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)>q>n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)$

r > 1 또한 $\textstyle n\left(\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{p}-1\right)\to p$임에 따른 것이다.

따라서 $\textstyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|>\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{p}$, 즉 $\textstyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {1/(n+1)^{p}}{1/n^{p}}}$가 성립하며, 비교판정법과 p-급수의 수렴에 의해 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 절대수렴한다.

R < 1이면, 어떤 자연수 N이 있어 모든 n ≥ N에 대해 $\textstyle {\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|<1+{\frac {1}{n}}}$이 성립한다. 따라서 $\textstyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>{\frac {1/(n+1)}{1/n}}$이며, 비교판정법과 조화급수의 발산에 의해 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$은 발산한다.

예

급수

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}$

의 발산성은 라베 판정법으로 보여진다:

$L=\lim _{n\to \infty }n\left({\frac {2n+2}{2n+1}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{2n+1}}={\frac {1}{2}}<1$

베르트랑 판정법

베르트랑 판정법(Bertrand's test): 궁극적으로 0이 아닌 실 또는 복소 급수 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$에 대해,

$R=\limsup _{n\to \infty }\;\ln n\left(n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)-1\right)$

$r=\liminf _{n\to \infty }\;\ln n\left(n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)-1\right)$

라 하면, r > 1일 때 절대수렴, R < 1일 때 발산이다.

증명

r > 1이면, 1 < p < q < r이게끔 p, q를 취했을 때, 어떤 자연수 N이 있어 모든 n ≥ N에 대해 다음이 성립한다.

$\ln n\left(n\left(\left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|-1\right)-1\right)>q>(n+1)\ln n\left(\,\left({\frac {\ln(n+1)}{\ln n}}\right)^{p}-1\right)\to p$

따라서 $\textstyle \left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<{\frac {1/\left[(n+1)\ln ^{p}(n+1)\right]}{1/\left(n\ln ^{p}n\right)}}$이며, 비교판정법과 $\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }{\frac {1}{n\ln ^{p}n}}$의 수렴에 의해 급수는 절대수렴한다.

R < 1이면, 어떤 자연수 N이 존재하여 임의의 n ≥ N에 대해 $\textstyle \left|{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}\right|<1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n\ln n}}<{\frac {(n+1)\ln(n+1)}{n\ln n}}$이 성립한다. 비교판정법과 $\textstyle \sum _{n=N}^{\infty }{\frac {1}{n\ln n}}$의 발산에 의해 급수는 발산한다.

쿠머 판정법

쿠머 판정법(Kummer's test, 에른스트 쿠머): 만약 $a_{n}>0$인 $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$에 대해, 수열 $c_{n}>0$이 존재하여

• $\textstyle r=\liminf _{n\to \infty }\left(c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\right)>0$이 성립한다면, 양항급수는 수렴한다.
• $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$이 발산하고 $\textstyle R=\limsup _{n\to \infty }\left(c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\right)<0$이 성립한다면, 양항급수는 발산한다.

증명

r > 0이면, 어떤 c가 존재하여, 충분히 큰 n > N에 대해

$0<c<c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}$

즉

$0<ca_{n+1}<c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1}$

이 성립한다. 따라서 c_na_n은 단조감소하며 0을 하계로 하게 되어 수렴한다. 망원급수

$\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1})$

은 이에 따라 수렴한다. 고로 양항급수가 수렴함을 비교판정법에 의해 알 수 있다.

더 나아간 결론

쿠머 판정법의 전건과 후건은 사실 서로 동치이다. 즉,

• 양항급수가 수렴할 필요충분조건은, $r>0$을 성립하게끔 하는 $c_{n}>0$이 존재한다는 것이다.
• 양항급수가 발산할 필요충분조건은, $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}$이 발산하고 $R<0$이 성립하게끔 하는 $c_{n}>0$이 존재한다는 것이다.

같이 보기

• 근판정법
• 수렴반지름

참고 문헌

• d'Alembert, J. (1768), 《Opuscules》 (영어) V, 171–183쪽 .
• Apostol, Tom M. (1974), 《Mathematical analysis》 (영어) 2판, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1 : §8.14.
• Knopp, Konrad (1956), 《Infinite Sequences and Series》 (영어), New York: Dover publications, Inc., ISBN 0-486-60153-6 : §3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), 《Principles of Mathematical Analysis》 (영어) 3판, New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 0-07-054235-X : §3.34.
• Tao, Terence (2008). 《陶哲轩实分析》 [테렌스 타오 실해석] (중국어). 번역 王昆扬 1판. 人民邮电出版社. ISBN 978-7-115-18693-5. 
• Tong, Jingcheng (1994). “Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive” (PDF). 《American Mathematical Monthly》 101 (5): 450-452. 
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), 《A Course in Modern Analysis》 (영어) 4판, Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 :§2.36, §2.37
• “Bertrand criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
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• “Kummer criterion”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bertrand's Test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gauss's Test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Kummer's Test”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.