Numero di Fermat

numero naturale della forma (2^(2^n)) + 1

Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero intero esprimibile come:

con intero non negativo.

Numeri primi di Fermat

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Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:

 
 
 
 
 

Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F5:

 

Nel 1770 dimostrò anche che ogni eventuale divisore di Fn è della forma  , risultato che venne migliorato da Lucas nel 1878 con la considerazione che tali divisori devono anche essere del tipo  , per gli   con  , dove   e   sono interi positivi.

Nel caso di  , per   troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide  .

Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.

A febbraio 2015, le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat sono le seguenti:

  •   (Clausen, Landry e Le Lasseur, 1880)
  •   (Morrison e Brillhart, 1970)
  •   (Brent e Pollard, 1980)
  •   (Western, 1903 / Lenstra, Manasse e altri, 1990)
  •   (Selfridge, 1953 / Brillhart, 1962 / Brent, 1995)
  •   (Cunningham, 1899 / Brent e Morain, 1988)

dove   indica un fattore primo di   cifre.[1]

Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che   è primo se e solo se  

I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si possono fare le costruzioni con riga e compasso dei poligoni regolari con   lati se e solo se   è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.

Nel luglio 2014 Raymond Ottusch ha trovato un divisore primo di  . Questo numero primo possiede ben 1002367 cifre, ed è

 

Al momento della dimostrazione,   diventava quindi il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore primo e di conseguenza la non primalità.[2]

Il 18 luglio 2009 il GIMPS ha annunciato la scoperta di un divisore di  :

  divide  .[1]

Il 13 febbraio 2015 PrimeGrid ha annunciato di aver scoperto un divisore primo di  :

 [3]

In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi.

Proprietà

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Dall'ultima relazione si deduce il cosiddetto teorema di Goldbach: ogni coppia di numeri di Fermat è coprima, ovvero nessun numero primo divide due numeri di Fermat diversi. Infatti, se   e   (con  ) avessero un fattore comune  , questo dividerebbe sia

 

che

 

e quindi   dividerebbe 2, ossia  , il che è impossibile perché tutti i numeri di Fermat sono dispari. Quindi due numeri di Fermat sono sempre coprimi.

Da questo si può dimostrare il teorema dell'infinità dei numeri primi: poiché esistono infiniti numeri di Fermat, e ogni numero primo ne divide al più 1, devono esistere infiniti primi.

  • Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi, ad eccezione di  ; questo può essere dimostrato osservando che, essendo   sempre dispari, per essere somma di due primi dovrebbe essere primo il numero  , che però è sempre divisibile per 3[4].
  • Nessun numero di Fermat può essere espresso come differenza di due potenze  -esime, dove   è un primo dispari.
  • La somma dei reciproci di tutti i numeri di Fermat è irrazionale. (Solomon W. Golomb, 1963)

4.^ Per la 4° relazione di ricorrenza riportata sopra,   è sempre divisibile non soltanto per 3 ma per   e quindi per ogni   con  .

  1. ^ a b Fermat factoring status Archiviato il 10 febbraio 2016 in Internet Archive.
  2. ^ The Top Twenty: Fermat Divisors
  3. ^ PrimeGrid Post sul sito di PrimeGrid che annuncia la scoperta
  4. ^ Per  ,   è pari, e quindi   per un   intero; passando alla congruenza modulo 3 si ha  , e quindi   è divisibile per 3.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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