Ecuación linear
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0e/FuncionLineal04.svg/250px-FuncionLineal04.svg.png)
Unha ecuación de primeiro grao ou ecuación linear significa que é unha ecuación que involucra unha ou máis variables elevadas á primeira potencia, que non contén produtos entre as variables, é dicir, que só inclúe sumas e restas de variables á primeira potencia. En todo anel conmutativo poden definirse ecuacións de primeiro grao.
Cunha incógnita
[editar | editar a fonte]Unha ecuación dunha variable definida sobre un corpo , é dicir, con onde x é a variable, admite a seguinte solución:
Cando tanto a incógnita como os coeficientes son elementos dun anel que non é un corpo, o asunto é máis complicado xa que só existirán solucións cando m divide a n:
Con dúas incógnitas
[editar | editar a fonte]No sistema cartesiano representan rectas. Unha forma común das ecuacións lineares de dúas variables é:
;
Onde representa a pendente e o valor de determina o punto onde a recta corta o eixe Y (a ordenada na orixe).
Algúns exemplos de ecuacións lineares:
Formas alternativas
[editar | editar a fonte]Formas complexas como as anteriores poden reescribirse empregando as regras da álxebra elemental en formas máis simples. As letras maiúsculas representan constantes, mentres x e y son variables.
- Ecuación xeral
- A e B non son ambos cero. Representa unha liña no plano cartesiano. É posible atopar os valores onde x e y se anulan.
- Ecuación segmentaria ou simétrica
- Nin E nin F poden ser cero. O gráfico desta ecuación corta o eixe X e o eixe Y en E e F respectivamente.
- Forma paramétrica
- Dúas ecuacións que deben cumprirse de xeito simultáneo, cada unha na variable t. Pode converterse á forma xeral despexando t en ambas as ecuacións e igualando. Nesta representación pode afirmarse que a recta pasa polo punto e forma co eixe de abscisas un ángulo con tanxente:
- Casos especiales:
- Un caso especial é a forma estándar onde y . O gráfico é unha liña horizontal sen intersección co eixe X ou (si F = 0) coincidente con ese eixe.
- Outro caso especial da forma xeral onde e . O gráfico é unha liña vertical que interseca o eixe X en E.
- Neste caso, todas as variables foron canceladas, deixando unha ecuación que é verdadeira en todos os casos. A forma orixinal (non unha tan trivial como a do exemplo) chámase identidade. O gráfico é todo o plano cartesiano, xa que a satisfai todos os pares de números reais x e y.
Se a manipulación alxébrica leva a unha ecuación como 1 = 0 entón a orixinal chámase inconsistente, ou sexa que non se cumpre para ningún par de números x e y. Un exemplo podería ser: .
Adicionalmente podería haber máis de dúas variables, en ecuacións simultáneas.
Ecuación linear no espazo n-dimensional
[editar | editar a fonte]As ecuacións lineares de varias variables admiten tamén interpretacións xeométricas, cando os coeficientes da ecuación pertencen a un corpo. Así, unha función linear de dúas variables da forma
representa unha recta nun plano. En varias variables asumendo que tanto as variables e os coeficientes , onde é un corpo entón unha ecuación linear como
representa un hiperplano de n-1 dimensións no espazo vectorial n-dimensional .
Sistemas de ecuacións lineares
[editar | editar a fonte]Os sistemas de ecuacións lineares expresan varias ecuacións lineares simultaneamente e admiten un tratamento matricial. Para a súa resolución debe haber tantas ecuacións como incógnitas e o determinante da matriz ha de ser real e non nulo. Xeometricamente corresponden a interseccións de liñas nun único punto (sistema linear de dúas ecuacións con dúas incógnitas), planos nunha recta (dúas ecuacións lineares de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuacións lineares de tres incógnitas). Os casos nos que o determinante da matriz é nulo non posúen solución.
Se se consideran n ecuacións de primeiro grao linearmente independentes definidas sobre un corpo entón existe solución única para o sistema se se dan as condicións do teorema de Rouché-Frobenius, e pode ser calculada mediante a regra de Cramer que é aplicable a calquera corpo. Se as ecuacións non son linearmente independentes ou non se dan as condicións do teorema a situación é máis complicada. Se o sistema se formula sobre un anel conmutativo que non sexa un corpo, a existencia de solucións é tamén máis complexa.
Linearidade
[editar | editar a fonte]Unha función definida sobre un espazo vectorial é linear se e só se cumpre a seguinte proposición:
onde α é calquera escalar. Tamén se chama a f operador linear