Equazione lineare

Un'equazione lineare, o equazione di primo grado, è un'equazione algebrica in cui il grado massimo delle incognite è uguale a uno.

Equazioni lineari in una incognita

Quelle a una sola incognita sono riconducibili (tramite le usuali regole dell'algebra elementare) alla cosiddetta forma normale (o canonica):

$ax+b=0$

dove $a$ e $b$ sono numeri reali o complessi.

Se $a\neq 0$ allora trasportando $b$ al secondo membro e dividendo per $a$ si ottiene:

$x=-{\frac {b}{a}}$

L'equazione di primo grado ammette dunque una e una sola soluzione, pari a $-{\tfrac {b}{a}}$.

Se invece $a=0$ allora l'equazione può essere impossibile o indeterminata:

• se $b=0$, l'equazione diventa $0=0$, che è sempre vera indipendentemente da $x$. L'equazione è pertanto detta indeterminata.

• se $b\neq 0$, l'equazione diventa $0=b$, che, essendo in realtà $b\neq 0$, è sempre falsa indipendentemente da $x$. L'equazione non ha soluzioni ed è pertanto impossibile.

Equazioni lineari in più incognite

Più in generale, un'equazione lineare in $n$ incognite $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ è riconducibile alla forma:

$a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}+k=0$

In geometria analitica, un'equazione lineare a due incognite (scritta in genere nella forma $y=mx+q$ oppure $ax+by+c=0$) rappresenta una retta nel piano cartesiano. Nello spazio a tre dimensioni, un'equazione in tre incognite della forma $ax+by+cz+d=0$ rappresenta un piano. In generale, nello spazio euclideo $n$-dimensionale, l'insieme delle soluzioni di un'equazione lineare in $n$ incognite rappresenta un iperpiano, cioè uno spazio ad $n-1$ dimensioni. Allo stesso modo un'equazione lineare a una sola incognita rappresenta un semplice punto.

Bibliografia

• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7.

Voci correlate

• Equazione quadratica
• Equazione diofantea di primo grado
• Retta

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Collegamenti esterni

• (EN) linear equation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
• Equazioni lineari da youmath.it