Mathematische Konstante

Eine mathematische Konstante ist eine wohldefinierte, reelle, nicht-ganzzahlige Zahl, die in der Mathematik von besonderem Interesse ist. Anders als physikalische Konstanten werden mathematische Konstanten unabhängig von jedem physikalischen Maß definiert und sind demnach einheitenlos. Viele spezielle Zahlen haben eine besondere Bedeutung in der Mathematik und treten in vielen unterschiedlichen Kontexten auf. Beispielsweise gibt es auf den reellen oder komplexen Zahlen genau eine differenzierbare Funktion $f$ mit $f^{\prime }=f$ und $f(0)=1$. Daraus abgeleitet wird die mathematische Konstante $\mathrm {e} :=f(1)$ definiert. Auf den komplexen Zahlen ist $f$ eine periodische Funktion, und ihre Periodenlänge ist eine weitere mathematische Konstante: $2\pi$. Mathematische Konstanten lassen sich in vielen Fällen numerisch beliebig genau berechnen. Jedoch gibt es auch einige mathematische Konstanten, für die nur sehr grobe Näherungen bekannt sind, wie zum Beispiel die Brunsche Konstante $B_{2}=1{,}90216058\dots$

Mathematische Konstanten werden in unterschiedlichen Teilgebieten der Mathematik untersucht. Von den meisten mathematischen Konstanten ist trotz großer Anstrengungen ungeklärt, ob sie rational, irrational-algebraisch oder transzendent sind. Eine besonders einfache Klasse bilden die polylogarithmischen Konstanten, zu denen die Logarithmen und die Werte der Riemannschen Zetafunktion an den positiven ganzzahligen Argumentstellen gehören. Für einen Teil dieser Klasse sind BBP-Reihen bekannt.

Einige wichtige mathematische Konstanten

Symbol	Dezimaldarstellung (OEIS-Link)	Name und Formel	Zahlentyp	Erstmals beschrieben	Zahl bekannter Dezimalstellen	Beschreibung
$\pi$	= 3,14159 26535 89793 23846 … (A000796)	Kreiszahl, Pi, Archimedes-Konstante, ludolphsche Zahl	transzendent berechenbar	2000 v. Chr.	50·1012	Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser eines Kreises.
${\sqrt {2}}$	= 1,41421 35623 73095 04880 … (A002193)	Quadratwurzel von 2, Konstante von Pythagoras	irrational algebraisch	800 v. Chr.	1013	Verhältnis der Diagonalen zur Kantenlänge eines Quadrates; positive Lösung von $x^{2}=2$
${\sqrt {3}}$	= 1,73205 08075 68877 29352 … (A002194)	Quadratwurzel von 3, Konstante von Theodorus	irrational algebraisch	800 v. Chr.	2·1012	Verhältnis der räumlichen Diagonalen zur Kantenlänge eines Würfels; positive Lösung von $x^{2}=3$
$\varphi ,\tau$	= 1,61803 39887 49894 84820 … (A001622)	Goldener Schnitt: $\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$	irrational algebraisch	250 v. Chr.	10·1012	Größenverhältnis, das vielfach näherungsweise in der belebten und unbelebten Natur auftritt – in einem mathematisch präzisierbaren Sinne besonders irrational; positive Lösung von $x^{2}=x+1$
$\mathrm {e}$	= 2,71828 18284 59045 23536 … (A001113)	Eulersche Zahl: $\textstyle \sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$	transzendent berechenbar	1618 1683	12·1012	Basis des natürlichen Logarithmus
$\gamma$	= 0,57721 56649 01532 86060 … (A001620)	Euler-Mascheroni-Konstante: $\textstyle \lim \limits _{n\to \infty }{\Bigl (}\sum \limits _{k=1}^{n}\!{\frac {1}{k}}-\ln n{\Bigr )}$	berechenbar	1734	6·1011	Fläche zwischen der Hyperbel ${\frac {1}{x}}$ und der Treppe ${\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}$ für $x\geq 1$
$\zeta (3)$	= 1,20205 69031 59594 28539 … (A002117)	Apéry-Konstante: $\textstyle \sum \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}}$	irrational berechenbar	1735	12·1011	Wert $\zeta (3)$ der riemannschen Zetafunktion an der Stelle 3; Kehrwert der asymptotischen Wahrscheinlichkeit, dass 3 zufällig gewählte natürliche Zahlen teilerfremd sind
$E_{B}$	= 1,60669 51524 15291 76378 … (A065442)	Erdős-Borwein-Konstante: $\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}$	irrational	1749	2000 (OEIS)	Summe der Kehrwerte aller Mersenne-Zahlen
$\mu$	= 1,45136 92348 83381 05028 … (A070769)	Ramanujan-Soldner-Konstante		1792 1809	75.500	Nullstelle des Integrallogarithmus
$\varpi$	= 2,62205 75542 92119 81046 … (A062539)	Lemniskatische Konstante: $\textstyle 2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}$	transzendent berechenbar	1798	6·1011	Analogon zu π für die Lemniskate
$B_{L}$	= 1,08366.	Legendre-Konstante	rational	1808	(5)	aus Legendres Abschätzung x / (ln x − 1,08366) der Anzahl der Primzahlen ≤ x; asymptotisch ist 1 korrekt
	= 0,66274 34193 49181 58097 … (A033259)	Grenzwert von Laplace		1827	500	maximale Exzentrizität, für die die Laplace-Reihe zur Lösung der Kepler-Gleichung konvergiert
$G$	= 0,91596 55941 77219 01505 … (A006752)	Catalansche Konstante: $\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}$	berechenbar	1832 1864	6·1011	Wert β(2) der Dirichletschen Betafunktion an der Stelle 2
M1	= 0,26149 72128 47642 78375 … (A077761)	Meissel-Mertens-Konstante: $\textstyle \lim \limits _{n\to \infty }{\Bigl (}\!\sum \limits _{p\leq n \atop p\;{\text{prim}}}\!\!{\frac {1}{p}}-\ln \ln n{\Bigr )}$		1866 1873	8010	Primzahl-Analogon zur Euler-Mascheroni-Konstante
A	= 1,28242 71291 00622 63687 … (A074962)	Glaisher-Kinkelin-Konstante: $\textstyle \exp({\frac {1}{12}}-\zeta '(-1))$		1856 1878	20.000	tritt bei der Auswertung von Integralen und Reihensummen auf
C	= 0,64341 05462 88338 02618 … (A118227)	Cahen-Konstante: $\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{S_{k}-1}}$ mit $S_{0}=2$, $S_{n}=1+S_{0}\cdots S_{n-1}$	transzendent berechenbar	1891	4000	transzendente Zahl mit einfachem Bildungsgesetz für die Teilnenner der Kettenbruchentwicklung
K	= 2,58498 17595 79253 21706 … (A062089)	Sierpiński-Konstante: $\pi (2\gamma +4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})-\ln \pi )$		1907	5000 (OEIS)	tritt bei der Abschätzung von Summen über τ(n) ƒ(n) auf, wobei τ(n) die Anzahl der Paare (a,b) ganzer Zahlen mit a2+b2 = n ist
K	= 0,76422 36535 89220 66299 … (A064533)	Landau-Ramanujan-Konstante: $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\prod \limits _{p\;{\text{prim}} \atop \equiv 3\;({\text{mod}}\;4)}\!\!\!\!{\bigl (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\bigr )}^{-1/2}$		1908	125.079 (OEIS)	die Anzahl der Zahlen ≤ x, die Summe von zwei Quadratzahlen sind, ist ~ K x/√ln(x)
G	= 1,01494 16064 09653 62502 … (A143298)	Gieseking-Konstante: $\textstyle \int _{0}^{2\pi /3}\ln(2\cos(x/2))\,\mathrm {d} x$		1912	105 (OEIS)	maximales Volumen eines hyperbolischen Tetraeders
β	= 0,28016 94990 23869 13303 … (A073001)	Bernstein-Konstante		1913	50 (OEIS)	der Fehler der besten gleichförmigen Approximation von |x| auf [−1,1] durch Polynome von geradem Grad n ist ~ β/n
B2	= 1,90216 058… (A065421)	Brunsche Konstante: $\textstyle \sum \limits _{p,\,p+2\;{\text{prim}}}\!{\bigl (}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p+2}}{\bigr )}$		1919	9 unter Hardy-Littlewood-Vermutung u. a.	Summe der Kehrwerte aller Primzahlzwillinge
Π2, C2	= 0,66016 18158 46869 57392 … (A005597)	Primzahlzwillingskonstante: $\textstyle \prod \limits _{p>2 \atop p\;{\text{prim}}}\!\!{\bigl (}1\!-\!{\frac {1}{(p-1)^{2}}}{\bigr )}$		1922	5020	die Anzahl der Primzahlzwillinge ≤ x ist laut Hardy-Littlewood-Vermutung $\textstyle \sim 2\,C_{2}\int _{2}^{x}\!{\frac {\mathrm {d} t}{(\ln t)^{2}}}$
𝔏	> 0,5 + 10−335 ≤ 0,54325 89653 42976 70695 … (A081760)	Landau-Konstante		1929	1	Maximum, so dass für jede holomorphe Funktion ƒ mit ƒ ′(0) = 1 im Bild der Einheitskreisscheibe eine Kreisscheibe mit Radius 𝔏 liegt
λ, μ	= 0,62432 99885 43550 87099 … (A084945)	Golomb-Dickman-Konstante: $\textstyle \int _{0}^{1}e^{{\rm {li}}(x)}\mathrm {d} x$		1930 1964	1659	asymptotische mittlere relative Länge des längsten Zykels einer Permutation
K0	= 2,68545 20010 65306 44530 … (A002210)	Chintschin-Konstante: $\textstyle \prod \limits _{n=1}^{\infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n(n+2)}}{\bigr )}^{\log _{2}n}$		1934	110.000	fast überall das geometrische Mittel der Teilnenner der Kettenbruchentwicklung
m	= 1,18656 91104 15625 45282 … (A100199)	Chintschin-Lévy-Konstante: $\pi ^{2}/(12\,\ln 2)$		1935	3,1026·1010	fast überall der Grenzwert für n → ∞ von (ln qn)/n, wobei qn der Nenner des n-ten Näherungsbruchs ist
A, θ	= 1,30637 78838 63080 69046 … (A051021)	Mills-Konstante		1946	6850 unter Riemann-Hypothese	kleinste Zahl A > 0, so dass ⌊A3ⁿ⌋ für jedes n = 1, 2, 3, … eine Primzahl ist
Λ	$\geq 0$ < 0,5	De-Bruijn-Newman-Konstante		1948 1976	0	Minimum, so dass eine bestimmte komplexe Funktion HΛ nur reelle Nullstellen hat; „Λ ≤ 0“ ist äquivalent zur Riemann-Hypothese
W	= 1,53960 07178 39002 03869 … (A118273)	Liebs Eiswürfelkonstante: $(4/3)^{3/2}$	irrational algebraisch	1967	1,6·108	Restentropie von Eis ist N k ln W in einem exakt lösbaren 2D-Modell in der statistischen Physik
	= 1,70521 11401 05367 76428 … (A033150)	Niven-Konstante: $\textstyle 1+\sum \limits _{k=2}^{\infty }{\bigl (}1-{\frac {1}{\zeta (k)}}{\bigr )}$		1968	256	mittlerer maximaler Exponent der Primfaktorzerlegungen der Zahlen 1, 2, 3, …
λ	= 0,30366 30028 98732 65859 … (A038517)	Gauß-Kusmin-Wirsing-Konstante		1973	468	tritt bei der Beschreibung der Konvergenz der Zahlenverteilung in Kettenbruchentwicklungen auf
C	= 1,46707 80794 33975 47289 … (A086237)	Porter-Konstante: $\textstyle {\frac {6\ln 2}{\pi ^{2}}}{\bigl (}3\ln 2+4\gamma -{\frac {24}{\pi ^{2}}}\zeta '(2)-2{\bigr )}-{\frac {1}{2}}$		1974	256	tritt in Formeln der asymptotischen mittleren Divisionsanzahl im Euklidischen Algorithmus auf
Ω	≈ 0,00787 49969 97812 3844 (A100264)	Chaitinsche Konstante	nicht-berechenbar	1975	(64 bit)	Wahrscheinlichkeit, mit der eine universelle Turingmaschine bei beliebiger Eingabe anhält
α	= 0,80939 40205 40639 13071 … (A085291)	Alladi-Grinstead-Konstante: $\textstyle \exp {\Bigl (}\!{\Bigl (}\sum \limits _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k}}\ln {\frac {k}{k-1}}{\Bigr )}-1{\Bigr )}$		1977	102 (OEIS)	in n! als Produkt von n Primzahlpotenzen wächst der größtmögliche kleinste Faktor logarithmisch ~ α ln n
δ	= 4,66920 16091 02990 67185 … (A006890)	1. Feigenbaum-Konstante		1979	1019	Übergang ins Chaos: Bifurkationsgeschwindigkeit
α	= 2,50290 78750 95892 82228 … (A006891)	2. Feigenbaum-Konstante		1979	1019	Übergang ins Chaos: Reduktionsparameter
F	= 2,80777 02420 28519 36522 … (A058655)	Fransén-Robinson-Konstante: $\textstyle \int _{0}^{\infty }\!{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,\mathrm {d} x$		1978	1025	Fläche zwischen der x-Achse und der Kurve 1/Γ(x) für x > 0
Λ	= 1,09868 58055 25187 01… (A086053)	Lengyel-Konstante		1984	18 (OEIS)	tritt bei der asymptotischen Analyse der Anzahl der Ketten vom kleinsten zum größten Element im Verband der Partitionen auf
σ	= 0,35323 63718 54995 98454 … (A085849)	Hafner-Sarnak-McCurley-Konstante: $\textstyle \prod \limits _{p\;{\text{prim}}}\!\!\!{\Bigl (}\!1\!-\!{\bigl (}1\!-\!\!\prod \limits _{k=1}^{\infty }(1\!-\!{\frac {1}{p^{k}}}\!){\bigr )}^{\!2}\!{\Bigr )}$		1993	40 (OEIS)	asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass die Determinanten von zwei Ganzzahl-Matrizen teilerfremd sind
B	= 1,45607 49485 82689 67139 … (A072508)	Backhouse-Konstante		1995	1300	−1/B ist die Nullstelle der Potenzreihe mit 1 und den Primzahlen als Koeffizienten
K	= 1,13198 82487 943… (A078416)	Viswanath-Konstante		1997	13 (OEIS)	Basis des asymptotisch exponentiellen Wachstums zufälliger Fibonacci-Folgen
β*	= 0,70258 … (A118288)	Embree-Trefethen-Konstante		1999	5 (OEIS)	Grenzkoeffizient verallgemeinerter zufälliger Fibonacci-Folgen

Siehe auch

• Liste besonderer Zahlen
• Smarandache-Konstanten
• Liste mathematischer Symbole

Literatur

• Steven R. Finch: Mathematical constants, Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Constants. In: MathWorld (englisch).
• Simon Plouffe: Plouffe’s inverter. (englisch) Eingabe eines Zahlenwerts und Suche nach der Konstanten
• Anne Veling: Earliest Uses of Symbols for Constants. (Memento vom 14. Oktober 2007 im Internet Archive) (Herkunft der Symbole) 22. August 1997 (englisch)
• Xavier Gourdon, Pascal Sebah: Numbers, constants and computation. (englisch)
• Alexander J. Yee: numberworld.org (englisch)
• Shigeru Kondo: PI World of JA0HXV. (Memento vom 18. August 2011 im Internet Archive) (englisch)