数学中,自治系统指光滑流形上的动力方程;非自治系统(non-autonomous system)则是
上的光滑纤维丛
上的动力方程。这是非自治力学的情形。
纤维丛
上的r阶微分方程由
的节丛
的闭子丛表示。
上的动力方程是微分方程,高阶导数可用代数方法求解。
特别地,纤维丛
上的1阶动力方程是
上某联络
的协变微商的核。给定Q上的丛坐标
和1阶节流形
上的适应(adapted)坐标
,1阶动力方程为
![{\displaystyle q_{t}^{i}=\Gamma (t,q^{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e51aca3a8b7612d8ac296279c0bf29d651afdd1)
这是哈密顿非自治力学的情形。
上的2阶动力方程
![{\displaystyle q_{tt}^{i}=\xi ^{i}(t,q^{j},q_{t}^{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa91216cdb33c65e99fb92610318b3555757d43)
定义为节丛
上的完整(holonomic)联络
,此方程也可用仿射节丛
上的联络表示。由于规范嵌入
,其等价于Q的切丛
上的测地线方程。非自治力学中的自由运动方程是2阶非自治动力方程的例子。
- De Leon, M., Rodrigues, P., Methods of Differential Geometry in Analytical Mechanics (North Holland, 1989).
- Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Geometric Formulation of Classical and Quantum Mechanics (World Scientific, 2010) ISBN 981-4313-72-6 ().