在一个旋转系统裏,作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
、位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
、力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
、动量
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
、角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
,這些物理量之間的关系。
力矩 (moment of force [ 1] ,moment[ 2] )在物理学 中,是作用力 促使物體繞著轉動軸 或支點 轉動的趨向[ 3] ;也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说,力矩是一種施加於例如螺栓 、飛輪 一類的物體,或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如,用扳手 的開口箝緊螺栓 或螺帽 ,然後轉動扳手,這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。
使机械元件转动的力矩又称转矩 (turning moment[ 4] ,moment of rotation[ 5] )即转动力矩 ;在材料力学 、土木工程 和建筑学 中,作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩 ,称为扭矩 [ 6] (torsional moment,torque),而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩,则称为弯矩 [ 7] (bending moment)。
力矩能够使物体改变其旋转运动 。推擠或拖拉涉及到作用力,而扭转則涉及到力矩。如上图,力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
等於径向向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
与作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
的叉積 。
根據国际单位制 ,力矩的单位是牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
米 。本物理量非能量,因此不能以焦耳 (J)作單位;根據英制单位 ,力矩的单位则是英尺
⋅
{\displaystyle \cdot }
磅。力矩的表示符号是希腊字母
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
,或
M
{\displaystyle \mathbf {M} \,\!}
。
力矩與三個物理量有關:施加的作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
、從轉軸到施力點的位移向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
、兩個向量之間的夾角
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
。力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
以向量方程式表示為
τ
=
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
。
力矩的大小為
τ
=
r
F
sin
θ
{\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}
。
用右手定則决定力矩方向
力矩 等於作用於杠杆的作用力 乘以支点 到力的垂直距离 。例如,3 牛顿 的作用力,施加於离支点2 米 处,所产生的力矩,等於1牛顿的作用力,施加於离支点6米处,所产生的力矩。力矩是个向量 。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則 来决定,也可以用叉乘 计算。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲,伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线,则大拇指指向力矩的方向[ 8] 。
假設作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
施加於位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
的粒子。選擇原點(以紅點表示)為參考點,只有垂直分量
F
⊥
{\displaystyle F_{\perp }\,\!}
會產生力矩。這力矩
τ
=
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
的大小為
τ
=
|
r
|
|
F
⊥
|
=
|
r
|
|
F
|
sin
θ
{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}
,方向為垂直於屏幕向外。
更一般地,如圖右,假設作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
施加於位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
的粒子。選擇原點為參考點,力矩
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}
以方程式定義為
τ
=
d
e
f
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
。
力矩大小為
τ
=
|
r
|
|
F
|
sin
θ
{\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}
;
其中,
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
是兩個向量
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
與
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
之間的夾角。
力矩大小也可以表示為
τ
=
r
F
⊥
{\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!}
;
其中,
F
⊥
{\displaystyle F_{\perp }\,\!}
是作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
對於
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
的垂直分量。
任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。
從叉積的性質,可推論,力矩垂直於位置向量
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
和作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
。力矩的方向與旋轉軸平行,由右手定則決定。
地心引力
F
g
{\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!}
的力矩造成角动量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
的改变。因此,陀螺 呈现进动 現象。
假設一個粒子的位置為
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
,動量為
p
{\displaystyle \mathbf {p} \,\!}
。選擇原點為參考點,此粒子的角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
為
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}
。
粒子的角動量對於時間的導數為
d
L
d
t
=
d
r
d
t
×
p
+
r
×
d
p
d
t
=
v
×
m
v
+
r
×
m
d
v
d
t
=
r
×
m
a
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!}
;
其中,
m
{\displaystyle m\,\!}
是質量,
v
{\displaystyle \mathbf {v} \,\!}
是速度,
a
{\displaystyle \mathbf {a} \,\!}
是加速度。
應用牛頓第二定律 ,
F
=
m
a
{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!}
,可以得到
d
L
d
t
=
r
×
F
{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
。
按照力矩的定義,
τ
=
d
e
f
r
×
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}
,所以,
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}
。
作用於一物體的力矩,決定了此物體的角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} \,\!}
對於時間
t
{\displaystyle t\,\!}
的導數。
假設幾個力矩共同作用於物體,則這幾個力矩的合力矩
τ
n
e
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!}
共同決定角動量的對於時間的變化:
τ
1
+
⋯
+
τ
n
=
τ
n
e
t
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}
。
關於物體的繞著固定軸的旋轉運動,
L
=
I
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!}
;
其中,
I
{\displaystyle I\,\!}
是物體對於固定軸的轉動慣量 ,
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
是物體的角速度 。
所以,取上述方程式對時間的導數:
τ
n
e
t
=
d
L
d
t
=
d
(
I
ω
)
d
t
=
I
d
ω
d
t
=
I
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
;
其中,
α
{\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}
是物體的角加速度 。
力矩的定义是距离 乘以作用力 。根據国际单位制,力矩的单位是牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
米 [ 9] (Nm)。虽然牛顿与米的次序,在数学上,是可以交换的,但是国际重量测量局 (Bureau International des Poids et Mesures )规定这次序应是牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
米,而不是米
⋅
{\displaystyle \cdot }
牛顿[ 10] 。
根據国际单位制 ,能量 与功量 的单位是焦耳 ,定义为1牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
米。但是,焦耳不是力矩的单位。因为,能量是力点积 距离的标量;而力矩是距离叉积 作用力的向量。当然,量纲 相同并不尽是巧合,使1牛顿
⋅
{\displaystyle \cdot }
米的力矩,作用1 全转 ,需要恰巧
2
π
{\displaystyle 2\pi \,\!}
焦耳的能量:
E
=
τ
θ
{\displaystyle E=\tau \theta \,\!}
。
其中,
E
{\displaystyle E\,\!}
是能量,
θ
{\displaystyle \theta \,\!}
是移动的角度,单位是弧度 。
根據英制 ,力矩的单位是英尺
⋅
{\displaystyle \cdot }
磅。
矩臂图
在物理学外,其他的学术界裡,力矩时常会如以下定义:
τ
=
(
moment arm
)
⋅
force
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!}
。
右图显示出矩臂(moment arm)、前面所提及的相对位置
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
、作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
(force)。这个定义並没有指出力矩的方向,只有力矩的大小。所以,并不适用于三维空间问题。
当一个物体在静态平衡时,合力是零,对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是
∑
F
x
=
0
{\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!}
,
∑
F
y
=
0
{\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}
,
∑
τ
=
0
{\displaystyle \sum \tau =0\,\!}
。
这里,
F
x
,
F
y
{\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!}
是作用力
F
{\displaystyle \mathbf {F} \,\!}
分别在x-轴与y-轴的分量。假若,这三个联立方程式 有解,则称此系统为静定 系统;不然,则称为静不定 系统。
假設施加作用力於一物體,使得此物體移動一段距離,則作用力對於此物體做了機械功 。類似地,假設施加力矩於一物體,使得此物體旋轉一段角位移,則力矩對於此物體做了機械功 。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動,以數學方程式表達,
W
=
∫
θ
1
θ
2
τ
d
θ
{\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!}
;
其中,
W
{\displaystyle W\,\!}
是機械功,
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}\,\!}
、
θ
2
{\displaystyle \theta _{2}\,\!}
分別是初始角和終結角,
d
θ
{\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!}
是無窮小角位移元素。
根據功能定理 ,
W
{\displaystyle W\,\!}
也代表物體的旋轉動能
K
r
o
t
{\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!}
的改變,以方程式表達,
K
r
o
t
=
1
2
I
ω
2
{\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}
。
功率 是單位時間內所做的機械功 。對於旋轉運動,功率
P
{\displaystyle P\,\!}
以方程式表達為
P
=
τ
⋅
ω
{\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!}
。
請注意,力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關,而角速度是否在增加中,或在減小中,或保持不變,功率都與這些狀況無關。
實際上,在與大型輸電網路相連接的發電廠裏,可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定,而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。
在計算功率時,必須使用一致的單位。採用國際單位制,功率的單位是瓦特,力矩的單位是牛頓-米,角速度的單位是每秒弧度 (不是每分鐘轉速 rpm,也不是每秒鐘轉速)。
力矩原理 闡明,幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和,等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理 (Varignon's theorem )[ 11] (以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農 命名),以方程式表達,
(
r
×
F
1
)
+
(
r
×
F
2
)
+
⋯
=
r
×
(
F
1
+
F
2
+
⋯
)
{\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!}
。
^ https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2
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^ SI brochure Ed. 8, Section 5.1 , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01 ] , (原始内容 存档于2007-05-19)
^ SI brochure Ed. 8, Section 2.2.2 , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01 ] , (原始内容 存档于2005-03-16)
^ Engineering Mechanics: Equilibrium , by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64
线性(平动)的量
角度(转动)的量
量纲
—
L
L2
量纲
—
—
—
T
时间 : t s
位移积分 : A m s
T
时间 : t s
—
距离 : d , 位矢 : r , s , x , 位移 m
面积 : A m2
—
角度 : θ , 角移 : θ rad
立體角 : Ω rad2 , sr
T−1
頻率 : f s−1 , Hz
速率 : v , 速度 : v m s−1
面積速率 : ν m2 s−1
T−1
頻率 : f s−1 , Hz
角速率 : ω , 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2
T−2
角加速度 : α rad s−2
T−3
加加速度 : j m s−3
T−3
角加加速度 : ζ rad s−3
M
质量 : m kg
ML2
轉動慣量 : I kg m2
MT−1
动量 : p , 冲量 : J kg m s−1 , N s
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
ML2 T−1
角动量 : L , 角衝量 : ι kg m2 s−1
作用量 : 𝒮 , actergy : ℵ kg m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F , 重量 : F g kg m s−2 , N
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
ML2 T−2
力矩 : τ , moment : M kg m2 s−2 , N m
能量 : E , 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W
ML2 T−3
rotatum : P kg m2 s−3 , N m s−1
功率 : P kg m2 s−3 , W