Формула Ньютона — Ляйбніца

Фо́рмула Ньюто́на-Ляйбніца для обчислення визначеного інтегралу є узагальненням методу Архімеда для обчислення площ і поверхонь плоских, криволінійних поверхонь, об'ємів тіл, довжин кривих та інших задач.

Нехай функція $f(x)$ неперервна на відрізку [а, b] і відома її первісна $F(x)$, тоді визначений інтеграл від функції $f(x)$ можна обчислити за формулою:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Ця формула називається формулою Ньютона—Ляйбніца. Іноді її називають основною формулою інтегрального числення. Для скорочення запису часто застосовується позначення:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx={\Bigl [}F(x){\Bigr ]}_{a}^{b}={\Bigl .}F(x){\Bigr |}_{a}^{b}$

Але в багатьох випадках первісна функція не може бути знайдена за допомогою елементарних засобів або є занадто складною, що робить неможливим обчислення визначеного інтеграла за цією формулою. В таких випадках користуються чисельнимим методами обчислення визначених інтегралів.

Формальні твердження

Існує дві частини теореми. Перша частина оперує з похідними первісних, тоді як друга частина має справу зі зв'язком між первісною і визначеним інтегралом.

Перша частина

Ця частина іноді згадується як перша фундаментальна теорема інтегрального числення.

Нехай f буде неперервною дійсно-значимою функцією на закритому проміжку [a, b]. Нехай F буде функцією визначеною, для всіх x у [a, b], через

$F(x)=\int _{a}^{x}\!f(t)\,dt.$

Тоді, F є неперервною на [a, b], диференційовною на відкритому проміжку (a, b), і

$F'(x)=f(x)\,$

для всіх x з (a, b).

Наслідок

Фундаментальну теорему часто використовують для обчислення визначеного інтегралу функції f для якої відома первісна F. Конкретно, якщо f є дійсно-значною неперервною функцію на [a, b], і F її первісна f у [a, b], тоді

$\int _{a}^{b}f(t)\,dt=F(b)-F(a).$

Цей наслідок припускає неперервність на всьому проміжку. Цей вислід злегка посилюється наступною частиною теореми.

Друга частина

Формула Ньютона - Лейбніца (анімація)

Ця частина іноді згадується як друга фундаментальна теорема інтегрального числення або формула Ньютона — Лейбніца (англ. Newton–Leibniz axiom).

Нехай f і F будуть дійсно-значними функціями визначеними на закритому проміжку [a, b] такі, що похідна F є f. Тобто f і F — це функції такі, що для всіх x з [a, b],

$F'(x)=f(x).\$

Якщо f є інтегровною за Ріманом на [a, b] тоді

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

Друга частина є почасти сильнішою від Наслідку, бо вона не вимагає неперервності f.

Коли існує первісна F, тоді існує нескінченно багато первісних для f, отримуваних додаванням до F довільної сталої. Також, з першої частини теореми, первісна існує завжди, коли f неперервна.

Доведення першої частини

Для заданої f(t), визначимо функцію F(x) як

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.$

Для двох довільних чисел x₁ і x₁ + Δx з [a, b], маємо

$F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt$

і

$F(x_{1}+\Delta x)=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

Відніманням отримуємо

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt.\qquad (1)$

Можна показати, що

$\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt+\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

(Сума площ двох суміжних регіонів дорівнює площі двох регіонів об'єднаних.)

Отже

$\int _{a}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt-\int _{a}^{x_{1}}f(t)\,dt=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.$

Підставляємо попереднє в (1), що дає

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt.\qquad (2)$

Згідно з теоремою Лагранжа для інтегрування, існує дійсне число $c(\Delta x)$ з [x₁, x₁ + Δx] таке, що

$\int _{x_{1}}^{x_{1}+\Delta x}f(t)\,dt=f\left(c(\Delta x)\right)\Delta x.$

Для спрощення запису ми продовжуватимемо писати c замість $c(\Delta x),$ але читач має усвідомлювати, що c залежить від $\Delta x$. Підставляючи попереднє у (2) отримуємо

$F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})=f(c)\Delta x.$

Ділення на Δx дає

${\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=f(c).$

Вираз ліворуч від знаку рівності — відношення різниць Ньютона для F у x₁.

Перейдемо до границь при Δx → 0 з обох боків рівняння.

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {F(x_{1}+\Delta x)-F(x_{1})}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).$

Вираз ліворуч є визначенням похідної від F у x₁.

$F'(x_{1})=\lim _{\Delta x\to 0}f(c).\qquad (3)$

Для визначення другої границі використаємо стискну теорему. Число c лежить у проміжку [x₁, x₁ + Δx], отже x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx.

Також, $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}=x_{1}$ and $\lim _{\Delta x\to 0}x_{1}+\Delta x=x_{1}.\,$

Тому, відповідно до стискної теореми,

$\lim _{\Delta x\to 0}c=x_{1}.$

Підставляємо в (3) і отримуємо

$F'(x_{1})=\lim _{c\to x_{1}}f(c).$

Функція f є неперервною в c, отже границю можна перенести в середину функції. Отже, ми маємо

$F'(x_{1})=f(x_{1}).\$

Що завершує доведення.

(Leithold et al., 1996) (строге доведення ви можете знайти на http://www.imomath.com/index.php?options=438 [Архівовано 22 лютого 2014 у Wayback Machine.])

Доведення наслідку

Припустимо F — первісна f, якщо f неперервна на [a, b]. Нехай

$G(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$.

З першої частини теореми, ми знаємо G також первісна f. З теореми Лагранжа випливає, що існує таке число c, що G(x) = F(x) + c, для всіх x з [a, b]. Поклавши x = a, маємо

$F(a)+c=G(a)=\int _{a}^{a}f(t)\,dt=0,$

що значить c = − F(a). Інакше кажучи G(x) = F(x) − F(a), і отже

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=G(b)=F(b)-F(a).$

Доведення другої частини

Доведення через суми Рімана.

Нехай f інтегровна за Ріманом на відрізку [a, b], і нехай f має первісну F на [a, b]. Почнемо з величини F(b) − F(a). Нехай існують числа x₁, …, x_n такі, що

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n-1}<x_{n}=b.\,$

З цього слідує

$F(b)-F(a)=F(x_{n})-F(x_{0}).\,$

Тепер додамо кожне F(x_i) разом із зворотнім до нього щодо додавання, отже вислідна величина дорівнює:

${\begin{aligned}F(b)-F(a)&=F(x_{n})+[-F(x_{n-1})+F(x_{n-1})]+\cdots +[-F(x_{1})+F(x_{1})]-F(x_{0})\\&=[F(x_{n})-F(x_{n-1})]+[F(x_{n-1})+\cdots -F(x_{1})]+[F(x_{1})-F(x_{0})].\end{aligned}}$

Попереднє можна записати як таку суму:

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F(x_{i})-F(x_{i-1})].\qquad (1)$

Далі, використаємо теорему Лагранжа. Яка стверджує (коротко)

Нехай F є неперервною на відрізку [a, b] і диференційовною на інтервалі (a, b). Тоді існує деяке c з (a, b) таке, що

$F'(c)={\frac {F(b)-F(a)}{b-a}}.$

З цього випливає, що

$F'(c)(b-a)=F(b)-F(a).\,$

Функція F диференційовна на [a, b]; отже, вона диференційовна і неперервна на кожному з відрізків [x_i−1, x_i]. Згідно з теоремою Лагранжа,

$F(x_{i})-F(x_{i-1})=F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1}).\$

Підставляючи попереднє в (1), отримуємо

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[F'(c_{i})(x_{i}-x_{i-1})].$

Припущення означає $F'(c_{i})=f(c_{i}).$ Також, $x_{i}-x_{i-1}$ може бути виражено як $\Delta x$ відтинку $i$.

$F(b)-F(a)=\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].\qquad (2)$

Збіжна послідовність сум Рімана. Число нагорі ліворуч є повною площею голубих прямокутників. Вони збігаються до інтегралу функції

Ми описуємо площу прямокутника через добуток ширини і висоти і додаємо площі. Кожен прямокутник, знов теорема Лагранжа, є наближенням секції кривої, де він намальований. Також $\Delta x_{i}$ не обов'язково має бути однаковим для всіх i, інакше кажучи, ширина прямокутників може різнитися. Що нам потрібно зробити — приблизно задати криву через n прямокутників. Тепер, у міру того як розмір кожного відтинку зменшується, а n збільшується, ми наближаємося до справжнього значення інтегралу кривої.

З переходом до границі, де розмір розбиття, найбільше $\Delta x$, прямує до нуля і відповідно кількість відтинків до нескінченності, ми досягаємо інтегралу Рімана. Границя існує, бо за припущенням f інтегровна.

Отже, ми переходимо до границі з обох боків у (2). Маємо

$\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].$

Ані F(b), ні F(a) не є залежними від $||\Delta x_{i}\|$, тому границя зліва залишається F(b) − F(a).

$F(b)-F(a)=\lim _{\|\Delta x_{i}\|\to 0}\sum _{i=1}^{n}\,[f(c_{i})(\Delta x_{i})].$

Вираз праворуч визначає інтеграл f від a до b. Отже, ми отримуємо

$F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx,$

що й завершує доведення.

Це виглядає майже так наче перша частина безпосередньо випливає з другої. Тобто, припустимо G є первісною для f. Тоді згідно з другою частиною теореми, $G(x)-G(a)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt$. Тепер, припустимо $F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt\ =G(x)-G(a)$. Тоді F має таку саму похідну як і G, звідси F′ = f. Однак, цей довід працює лише якщо ми знаємо, що f має первісну, а ми знаємо, що неперервні функції мають первісну лише завдяки першій частині фундаментальної теореми. Наприклад, якщо f(x) = e^−x2, тоді f має первісну, а саме

$G(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt\,$

і не існує простішого виразу для цієї функції. Саме через не треба сприймати другу частину як визначення інтеграла. І справді, існує багато функцій які інтегровні, але на мають первісної яку можна записати у вигляді елементарних функцій. І навпаки, багато функцій, що мають первісну, неінтегровні за Ріманом (дивись Функція Вольтерра).

Приклади

Задля прикладу обчислимо таке:

$\int _{2}^{5}x^{2}\,dx.$

Тут, $f(x)=x^{2}\,$ і ми можемо використати $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}$ як первісну. Звідси

$\int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.$

Або, загальніше, обчислимо

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt$

Тут, $f(t)=t^{3}\,$ і можна використати $F(t)={\frac {t^{4}}{4}}$ як первісну. Отже

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.$

Або, тотожно,

${\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x){\frac {dx}{dx}}-f(0){\frac {d0}{dx}}=x^{3}.$

Див. також

• Інтегральне числення

Джерела

• Апостол, Том М. (1967), Інтегральне числення, Том. 1: Інтегральне числення функцій однієї змінної зі вступом до лінійної алгебри (вид. друге), Нью Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-00005-1. (англ.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)

Посилання

• Формула Ньютона — Лейбніца // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 412. — 594 с.