Зовнішня похідна у диференціальній геометрії розширює поняття диференціала функції , що є диференціальною формою нульового порядку, на довільні форми вищих порядків. В сучасному виді поняття зовнішньої похідної було введено французьким математиком Елі Картаном .
Зовнішня похідна d має властивість, що d2 = 0 і вона використовується для визначення когомології де Рама на диференціальних формах. Інтегрування форм надає природний гомоморфізм з когомології де Рама на сингулярні когомології гладких многовидів . Згідно з теоремою де Рама це відображення є ізоморфізмом .
Нехай
Ω
k
(
M
)
{\displaystyle \Omega ^{k}(M)}
множина диференціальних k-форм на гладкому многовиді M . Лінійне відображення
d
:
Ω
k
(
M
)
→
Ω
k
+
1
(
M
)
{\displaystyle \mathrm {d} :\Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)}
Для
p
=
0
{\displaystyle p=0}
d
(
ω
k
∧
ω
p
)
=
(
d
ω
k
)
∧
ω
p
+
(
−
1
)
k
ω
k
∧
(
d
ω
p
)
{\displaystyle \ \mathrm {d} (\omega ^{k}\wedge \omega ^{p})=(\mathrm {d} \omega ^{k})\wedge \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^{k}\wedge (\mathrm {d} \omega ^{p})}
Для будь-якої форми виконується рівність
d
(
d
ω
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} (\mathrm {d} \omega )=0}
Для довільного гладкого многовиду відображення з даними властивостями існує і є єдиним.
[ ред. | ред. код ] Для довільної точки
p
∈
M
{\displaystyle p\in M}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}
ω
k
=
∑
1
≤
i
1
<
…
<
i
k
≤
n
f
i
1
,
…
,
i
k
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
,
{\displaystyle \omega ^{k}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}},}
f
i
1
,
…
,
i
k
{\displaystyle f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}
d
ω
k
|
p
=
∑
1
≤
i
1
<
…
<
i
k
≤
n
∑
i
=
1
n
∂
f
i
1
,
…
,
i
k
∂
x
i
|
p
d
x
i
∧
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
.
{\displaystyle \mathrm {d} \omega ^{k}|_{p}=\sum _{1\leq i_{1}<\ldots <i_{k}\leq n}\sum _{i=1}^{n}\left.{\frac {\partial f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}}{\partial x_{i}}}\right|_{p}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.}
Якщо
X
0
,
…
,
X
k
{\displaystyle X_{0},\ldots ,X_{k}}
векторні поля на многовиді, тоді зовнішня похідна визначається за формулою:
d
ω
(
X
0
,
…
,
X
k
)
=
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
X
i
(
ω
(
X
0
,
…
,
X
^
i
,
…
,
X
k
)
)
+
∑
0
≤
i
<
j
≤
k
(
−
1
)
i
+
j
ω
(
[
X
i
,
X
j
]
,
X
0
,
…
,
X
^
i
,
…
,
X
^
j
,
…
,
X
k
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})&=&\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}X_{i}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}))\\[0.5em]&+&\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})\end{array}}}
де символ ^ у виразі
X
^
i
{\displaystyle {\hat {X}}_{i}}
[
.
,
.
]
{\displaystyle [.,.]}
дужки Лі векторних полів .
Якщо
∇
{\displaystyle \nabla }
афінною зв'язністю із нульовим крученням на многовиді, тобто
∇
X
Y
−
∇
Y
X
=
[
X
,
Y
]
,
{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}
коваріантної похідної :
d
ω
(
X
0
,
…
,
X
k
)
=
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
D
X
i
ω
(
X
0
,
…
,
X
^
i
,
…
,
X
k
)
{\displaystyle \mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}D_{X_{i}}\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k})}
Ця рівність є справедливою, зокрема для зв'язності Леві-Чивіти у рімановій геометрії .
1 Нехай σ = u dx 1 ∧dx 2 dx 1 ,...,dx n .
Зовнішня похідна цієї диференціальної форми рівна:
d
σ
=
∑
i
=
1
n
∂
u
∂
x
i
d
x
i
∧
d
x
1
∧
d
x
2
{\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}}
=
∑
i
=
3
n
∂
u
∂
x
i
d
x
i
∧
d
x
1
∧
d
x
2
.
{\displaystyle =\sum _{i=3}^{n}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}\mathrm {d} x_{i}\wedge \mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}.}
2 Для 1-форми σ = u dx + v dy R 2
d
σ
=
(
∑
i
=
1
2
∂
u
∂
x
i
d
x
i
∧
d
x
)
+
(
∑
i
=
1
2
∂
v
∂
x
i
d
x
i
∧
d
y
)
{\displaystyle {\text{d}}\sigma =\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}{\text{d}}x_{i}\wedge {\text{d}}x\right)+\left(\sum _{i=1}^{2}{\frac {\partial v}{\partial x_{i}}}{\text{d}}x_{i}\wedge {\text{d}}y\right)}
=
(
∂
u
∂
x
d
x
∧
d
x
+
∂
u
∂
y
d
y
∧
d
x
)
+
(
∂
v
∂
x
d
x
∧
d
y
+
∂
v
∂
y
d
y
∧
d
y
)
{\displaystyle =\left({\frac {\partial {u}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}x+{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}{\text{d}}y\wedge {\text{d}}x\right)+\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+{\frac {\partial {v}}{\partial {y}}}{\text{d}}y\wedge {\text{d}}y\right)}
=
0
−
∂
u
∂
y
d
x
∧
d
y
+
∂
v
∂
x
d
x
∧
d
y
+
0
{\displaystyle =0-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+{\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}{\text{d}}x\wedge {\text{d}}y+0}
=
(
∂
v
∂
x
−
∂
u
∂
y
)
d
x
∧
d
y
.
{\displaystyle =\left({\frac {\partial {v}}{\partial {x}}}-{\frac {\partial {u}}{\partial {y}}}\right){\text{d}}x\wedge {\text{d}}y.}
Якщо ƒ : M → N гладке відображення і Ω k функтор що присвоює кожному гладкому многовиду множину k -форм на цьому многовиді тоді наступна діаграма комутує:
тобто d(ƒ *ω ) = ƒ *dω , де ƒ * позначає зворотне відображення від ƒ . Отже, d є природним відображенням з Ωk Ω k +1
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\mathrm {d} \omega (X_{0},\ldots ,X_{k})&=&\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}X_{i}(\omega (X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,X_{k}))\\[0.5em]&+&\sum _{0\leq i<j\leq k}(-1)^{i+j}\omega ([X_{i},X_{j}],X_{0},\ldots ,{\hat {X}}_{i},\ldots ,{\hat {X}}_{j},\ldots ,X_{k})\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58fb13d3e65292c3beba4cec645e9fc0da293783)
![{\displaystyle [.,.]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/740650be18c169f2d8f2d47ff04a721f726da613)
![{\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ca63c0cb31ba4d14004adb8d8ec84cced774a8e)
