Періодична послідовність

У математиці періодична послідовність — це послідовність, у якій ті самі терми повторюються знову і знову:

a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p, ...

Кількість р повторюваних доданків називають періодом.

Визначення

(Чисто) періодична послідовність (з періодом p), або p-періодична послідовність, це послідовність a₁, a₂, a₃, ..., у якій

a_n+p = a_n

для всіх значень n. Якщо послідовність розглядати як функцію, областю визначення якої є множина натуральних чисел, то періодична послідовність є просто особливим типом періодичної функції. Найменше значення p, для якого періодична послідовність є p-періодичною, називають її найменшим періодом або точним періодом. 

Приклади

Кожна стала функція є 1-періодичною.

Послідовність $1,2,1,2,1,2\dots$ є періодичною з найменшим періодом 2.

Послідовність цифр у десятковому розкладі 1/7 є періодичною з періодом 6:

${\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots$

Загалом, послідовність цифр у десятковому розкладі будь-якого раціонального числа є періодичною (див. нижче). 

Послідовність степенів − 1 є періодичною з періодом два:

$-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$

Загальніше, послідовність степенів будь-якого кореня з одиниці є періодичною. Те саме справедливо для степенів будь-якого елемента скінченного порядку в групі^{[джерело?]}.

Періодична точка для функції f : X → X — точка x, орбіта якої

$x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots$

є періодичною послідовністю. Тут, $f^{n}(x)$ означає n-разову композицію f, застосовану до x.  Періодичні точки важливі в теорії динамічних систем. Кожна функція від скінченної множини на саму себе має періодичну точку; виявлення циклу — це алгоритмічна задача знаходження такої точки.

Тотожності

Часткові суми

$\sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}$, де k і m<p — натуральні числа^{[джерело?]}.

Часткові добутки

$\prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n}$, де k і m<p — натуральні числа^{[джерело?]}.

Періодичні послідовності нулів і одиниць

Будь-яку періодичну послідовність можна побудувати поелементним додаванням, відніманням, множенням і діленням періодичних послідовностей, що складаються з нулів і одиниць. Періодичні нульові та одиничні послідовності можна виразити як суми тригонометричних функцій:

$\sum _{k=1}^{1}\cos(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1...$ — період 1,

$\sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0...$ — період 2,

$\sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...$ — період 3,

$...$

$\sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0...,1$ — період $N$.

Узагальнення

Послідовність є зрештою періодичною, якщо її можна зробити періодичною, відкинувши деяку скінченну кількість початкових членів. Наприклад, послідовність цифр у десятковому розкладі 1/56 є періодичною:

1/56 = 0. 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ... ^{[джерело?]}

Послідовність є остаточно періодичною, якщо вона задовольняє умову $a_{k+r}=a_{k}$ для деякого r і достатньо великого k.

Послідовність є асимптотично періодичною, якщо її члени наближаються до членів періодичної послідовності. Тобто послідовність x₁, х₂, х₃, ... є асимптотично періодичною, якщо існує періодична послідовність a₁, a₂, a₃, ... для якої

$\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.$ 

Наприклад, послідовність

1/3,  2/3,  1/4,  3/4,  1/5,  4/5,  . . .

є асимптотично періодичною, оскільки її члени наближаються до членів періодичної послідовності 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....