Залишок ряду

Ряд, отриманий відкиданням від початкового n перших членів, називається n-м залишком ряду.

Позначення:

$r_{n}=\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}$

Всі члени, крім тих, що входять в n-й залишок ряду, в сумі дають так звану n-у часткову суму ряду.

Властивості

Для залишку ряду справедливі такі твердження:

1. Якщо ряд збіжний, то збіжний будь-який його залишок.
2. Якщо хоча б один залишок ряду збіжний, то й сам ряд збіжний.
3. Якщо ряд збіжний, то

$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n+1}^{\infty }a_{k}=0$

Існують способи оцінки залишку ряду за допомогою інтегральної ознаки Коші (для знакододатного ряду) і ознаки збіжності Лейбніца (для знакопереміжного ряду).

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)