Матриця одиниць

У математиці, матриця одиниць — це матриця, кожен елемент якої дорівнює одиниці. Приклади:

$J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}}.\quad$

Властивості

Для квадратної n×n-матриці одиниць J істинними є такі твердження:

• Слід матриці J дорівнює n, а визначник дорівнює 1 при n = 1, і 0 у всіх інших випадках.
• Ранг матриці J дорівнює 1.
• У матриці J тільки два власні значення: n (некратне) і 0 (кратності n-1).
• $J^{k}=n^{k-1}J$ для $k=1,2,\ldots .$
• Матриця ${\tfrac {1}{n}}J$ є ідемпотентною.
• Експонента матриці одиниць подається у вигляді: $\exp(J)=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J.$
• J є одиничним елементом відносно добутку Адамара.

Див. також

• Бінарна матриця
• Нульова матриця
• Одинична матриця