Проєкційна матриця

Квадратна матриця $\ P$ з комплексними елементами називається проєкційною, якщо виконується $\ P=P^{2}.$

Якщо виконується $\ P=P^{*}P,$ то матриця $\ P$ називається ортогонально-проєкційною.

• Проєкційні матриці $\ P_{1},P_{2}$ називаються ортогональними, якщо $\ P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0.$

З точки зору абстрактної алгебри проєкційні матриці — це ідемпотентні елементи кільця квадратних матриць.

Властивості

• Кожна ортогональна-проєкційна матриця є проєкційною і одночасно ермітовою матрицею, оскільки:

$\ P=P^{*}P\quad \Rightarrow \quad P^{*}=(P^{*}P)^{*}=P\quad \Rightarrow \quad P=P^{2}.$

• Якщо матриця $\ P$ є проєкційною, то матриці

$\ P^{n},\;(I-P)^{n},\;P^{*}\quad \forall n\in \mathbb {N}$    теж будуть проєкційними.

• Якщо матриця $P\!$ є ортогонально-проєкційною, то матриці

$\ P^{n},\;(I-P)^{n}\quad \forall n\in \mathbb {N}$    теж будуть ортогонально-проєкційними.

• Якщо матриця $P\!$ є ортогонально-проєкційною, то

$\ \forall x,y:\quad Px\perp (I-P)y.$

• Власні значення проєкційних матриць можуть приймати значення тільки +1 та 0, що легко побачити з розкладу матриці по її власних векторах.
• Ортогонально-проєкційні матриці є невід'ємноозначеними матрицями.

Ортогональні проєктори на підпростір

• Найпростішим випадком ортогональної проєкції є проєкція на лінію вектора. Якщо u є одиничним вектором, тоді проєктором на лінію вздовж вектора буде матриця

$\ P_{u}=uu^{\top }.$

• Довільна прямокутна матриця $A\in \mathbb {C} ^{m\times n}$ вводить дві ортогонально-проєкційні матриці:

$P(A)=A^{+}A\;\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — проєктор в просторі $\mathbb {C} ^{n}$ на підпростір векторів-рядків матриці$\ A,$

$P(A^{*})=AA^{+}\;\in \mathbb {C} ^{m\times m}$ — проєктор в просторі $\mathbb {C} ^{m}$ на підпростір векторів-стовпців матриці$\ A.$

• Проєктори на ортогональне доповнення до даних підпросторів, позначаються:

$\ Z(A)=I_{n}-P(A),$

$\ Z(A^{*})=I_{m}-P(A^{*}).$

Для $\ P(A^{*}),Z(A^{*})$ ще використовують позначення $P_{A}^{\parallel }$ та $P_{A}^{\perp }$ відповідно.

$\ A^{+}$ — псевдообернена матриця до матриці A.

Приклади

• Одинична матриця є проєктивною.
• $P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\quad \Rightarrow \quad P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}.$
• $P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}\quad \Rightarrow \quad P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.$

Застосування

• Застосовується при QR розкладі матриці в методах: Процес Грама — Шмідта, Перетворення Хаусхолдера.
• Застосовується при сингулярному розкладі матриці.

Див. також

• Теорія матриць
• Спектральна теорема
• Проєкції

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)