Конус
Конус | |
![]() | |
Досліджується в | стереометрія |
---|---|
Підтримується Вікіпроєктом | Вікіпедія:Проєкт:Математика |
![]() |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Cone_3d.png/220px-Cone_3d.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/53/Cutting_cone.svg/220px-Cutting_cone.svg.png)
Ко́нус (лат. conus від дав.-гр. κώνος — «шпичак шолома», «шишка»)[1] заст. кружі́ль[2]— геометричне тіло, отримане шляхом об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки — вершини конуса, і таких що проходять через довільну плоску криву. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину і точки пласкої поверхні (яку в такому випадку називають основою конуса, а конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Надалі буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про інше.
За ДСТУ: конус — узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють конічну поверхню, конічну деталь чи конічний елемент[3].
Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), називається висотою конуса. Якщо площа основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає пірамідою. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.
Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою границі його основи називається твірною конуса. Множина всіх твірних конуса називається бічною поверхнею конуса.
Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є еліпсом) і ортогональна проєкція вершини конуса на його основу збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи називається віссю конуса. Якщо ж ортогональна проєкція вершини не збігається з центром основи, то такий конус називається косим.
У курсі шкільної геометрії розглядають конус (точніше, прямий круговий конус [Архівовано 15 грудня 2019 у Wayback Machine.]). Конусом (точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається із круга — основи конуса, точки, що не лежить в площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, які з'єднують вершину конуса з точками основи.
Прямий круговий конус (часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів, який таким чином стане віссю конуса. Конус обертання в прямокутній системі координат описується системою нерівностей:
-
- де
З усіх конусів тільки прямий круговий є тілом обертання.
Перетин площини з прямим круговим конусом є одним з конічних перерізів (в невироджених випадках — еліпсом, параболою чи гіперболою, в залежності від розміщення січної площини).
Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною до основи і знаходиться між вершиною і основою, називається зрізаним конусом.
Конус, що спирається на еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/93/Stozek_schemat.svg/220px-Stozek_schemat.svg.png)
Повна площа прямого кругового конуса
- ,
де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.
Площа бічної поверхні прямого кругового конуса
- ,
де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.
У загальному випадку:
- ,
де S — площа основи, h — висота конуса.
Об'єм кругового конуса, відповідно:
- ,
Формулу об'єму конуса легко отримати із використанням інтегрального числення. Ми знаємо, що об'єм твердого тіла дорівнює інтегралу площі його перерізу вздовж певної осі. Отже, з точністю до сталої, це інтеграл
Цей термін означає кут при вершині в осьовому перерізі конуса.
Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основа — многокутник, навколо якого можна описати коло, а вершина піраміди проєктується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висоти конуса і піраміди збігаються.
Конус можна вписати в піраміду, якщо її основа — многокутник, у який можна вписати коло, а вершина піраміди проєктується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висота конуса і піраміди збігаються.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3a/%D0%92_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%80%D1%96%D0%B7%D1%96.png)
Кулю можна описати навколо довільного конуса. Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса. Переріз площиною, що проходить через вісь конуса (осьовий переріз). Об'єм кулі, описаної навколо прямого кругового конуса:
- , де — твірна конуса; — радіус основи конуса.
- Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням:
Куля, вписана в конус
Це співвідношення справедливе зокрема для випадку, коли .
Кулю можна вписати в довільний конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, яка паралельна основі конуса. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса. Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/1912._%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8F%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%83%D1%81_%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D1%83%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0.jpg/220px-1912._%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8F%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%83%D1%81_%D0%BD%D0%B0_%D1%80%D1%83%D0%B4%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B5_%D0%9D%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0.jpg)
Форму конусів мають насипані на горизонтальній поверхні купи піску, зерна, вугілля, породи, щебеню тощо. Кожному такому матеріалу відповідає кут природного укосу[4] - кут нахилу твірної до площини основи конуса. Для піску він дорівнює приблизно 30°, для вугілля — 42°, для породи — 46°.
- Блазенський ковпак
- Зрізаний конус
- Інструментальний конус
- Конічна поверхня
- Конічні перетини
- Конусність
- Умова конуса
- ↑ Етимологічний словник української мови : в 7 т. / редкол.: О. С. Мельничук (гол. ред.) та ін. — К. : Наукова думка, 1985. — Т. 2 : Д — Копці / Ін-т мовознавства ім. О. О. Потебні АН УРСР ; укл.: Н. С. Родзевич та ін. — 572 с.
- ↑ Ко́нус // Російсько-українські словники на R2U.
- ↑ ДСТУ 2499-94 Конуси та конічні з'єднання. Терміни та визначення.
- ↑ Геометрія (Бевз, Владімірова) 11 клас. Шкільні підручники онлайн (укр.). Архів оригіналу за 25 грудня 2019. Процитовано 25 грудня 2019.
- Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга- Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8
- Геометрія. 11 клас [Текст]: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профіл.рівень / Бевз Г. П. [та ін.]. — Київ: Генеза, 2011. — 336 с.
- Геометрія: Стереометрія: 10-11 класи [Текст]: підручник / Погорєлов О. В. — Київ: Освіта, 2001. — 128 с.
- Наочний довідник з геометрії [Текст] / Генденштейн Л. Е., Єршова А. П. — Харків — Тернопіль: Гімназія — Підручники і посібники, 1997. — 96 с.
|