Розподіл Ерланга

Розподіл Ерланга
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$k\in \{1,2,3,\ldots \}$ — параметр форми $\lambda \in (0,\infty )$ — коефіцієнт норми або обернений коефіцієнт масштабу
Носій функції	$x\in [0,\infty )$
Розподіл імовірностей	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n},$ де $\gamma$ — неповна гамма-функція
Середнє	${\frac {k}{\lambda }}$
Медіана	немає аналітичної форми
Мода	${\frac {1}{\lambda }}(k-1)$
Дисперсія	${\frac {k}{\lambda ^{2}}}$
Коефіцієнт асиметрії	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Коефіцієнт ексцесу	${\frac {6}{k}}$
Ентропія	$(1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k$
Твірна функція моментів (mgf)	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}$ for $t<\lambda$
Характеристична функція	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}$

Розподіл Ерланга — двопараметрична сім'я абсолютно неперервних розподілів, визначених для $x\in [0,\infty )$. Параметрами розподілу є:

• $k\in \mathbb {N}$ — параметр форми,
• $\lambda \in (0,\infty )$ — коефіцієнт норми. Іноді використовується обернений параметр $\beta ={\frac {1}{\lambda }}$ — коефіцієнт масштабу.

Розподіл Ерланга — це розподіл суми $k$ незалежних однаково експоненційно розподілених випадкових величин з параметром $1/\lambda$. Еквівалентним твердженням є те, що це розподіл часу до $k$-тої події Пуассонівського процесу з параметром $\lambda$. Розподіли Ерланга та Пуассона є взаємнодоповнюючими: розподіл Пуассона підраховує кількість подій, що відбудуться за фіксований проміжок часу, а розподіл Ерланга підраховує кількість часу до появи фіксованої кількості подій. При $k=1$, розподіл Ерланга збігається з експоненційним розподілом. Розподіл Ерланга — окремий випадок гамма-розподілу з натуральними значеннями параметру форми $k$.

Випадкова величина $\xi$, що має розподіл Ерланга позначається наступним чином: $\xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$.

Названий на честь данського математика та інженера А. К. Ерланга, який використовував розподіл для вивчення кількості телефонних дзвінків, які можуть бути здійснені одночасно до операторів телефонної станції. Ця робота з теорії телетрафіку була розширена для оцінки часу очікування в теорії черг загалом. Також розподіл використовується в площині випадкових процесів.

Опис

Щільність розподілу

Випадкова величина $\xi$ має розподіл Ерланга з параметром норми $\lambda \geq 0$ порядку $k\in \mathbb {N}$, якщо її щільність має вигляд:

$f_{\xi }(x)={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\mathbf {1} _{[0,+\infty )}(x).$

Альтернативна (але еквівалентна) параметризація використовує коефіцієнт масштабу $\beta$, який є оберненим до параметру норми (тобто $\beta =1/\lambda$), в такому випадку щільність розподілу має вигляд:

$f_{\xi }(x)={\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\beta }}}}{\beta ^{k}(k-1)!}}\mathbf {1} _{[0,+\infty )}(x).$

При $\beta =2$, розподіл Ерланга збігається з хі-квадрат розподілом з $2k$ ступенями свободи. Тому його можна розглядати як узагальнений розподіл хі-квадрат для парної кількості ступенів свободи.

Функція розподілу ймовірностей

Розподіл Ерланга має таку функцію розподілу ймовірностей:

$F(x)=P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}},$

де $\gamma$ — нижня неповна гамма-функція, а $P$ — нижня регуляризована гамма-функція.

Функція розподілу також може бути записана в такій формі:

$F(x)=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}.$

Медіана

Відомий асимптотичний розклад для медіани розподілу Ерланга з визначеними межами та обчислюваними параметрами. Наближене значення такого розкладу буде дорівнювати ${\frac {k}{\lambda }}\left(1-{\dfrac {1}{3k+0.2}}\right),$ тобто менше за математичне сподівання ${\frac {k}{\lambda }}.$

Генерація випадкових величин з розподілом Ерланга

Випадкова величина з розподілом Ерланга $\xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$ може бути згенерована з $k$ рівномірно розподілених випадкових величин $\eta _{i}\sim U[0,1],i={\overline {1,k}}$ за наступною формулою:

$\xi =-{\frac {1}{\lambda }}\ln \prod _{i=1}^{k}\eta _{i}=-{\frac {1}{\lambda }}\sum _{i=1}^{k}\ln \eta _{i}$

Застосування

Час очікування

Незалежні випадкові події, які відбуваються з деякою середньою швидкістю моделюються за допомогою пуассонівського процесу. Час очікування між $k$ такими подіями має розподіл Ерланга (тоді як кількість подій, що відбулися за певний проміжок часу, розподілена за Пуассоном).

Розподіл Ерланга, який вимірює час між вхідними дзвінками, може бути використаний разом з очікуваною тривалістю вхідних дзвінків для отримання інформації про навантаження трафіку, що вимірюється в ерлангах. Це може бути використано для визначення ймовірності втрати або затримки пакетів, згідно з припущеннями щодо того чи заблоковані виклики перериваються (формула Erlang B) чи стовляться у чергу до обслуговування (формула Erlang C). Формули Erlang B та C досі використовуються для моделювання трафіку, наприклад при розробці дизайну кол-центрів.

Інші застосування

Віковий розподіл захворюваності на рак часто відповідає розподілу Ерланга, де параметри форми та масштабу передбачають кількість рушійних подій та часовий інтервал між ними, відповідно. У ширшому сенсі, розподіл Ерланга був запропонований як хороше наближення розподілу часу клітинного циклу, в результаті багатоступеневих моделей.

Він також використовувався в бізнес-економіці для опису часу між закупівлями.

Властивості

• Якщо $\xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$, то $a\cdot \xi \sim \operatorname {Erlang} \left(k,{\frac {\lambda }{a}}\right)$ для $a\in \mathbb {R}$
• Якщо $\xi \sim \operatorname {Erlang} (k_{1},\lambda )$, $\eta \sim \operatorname {Erlang} (k_{2},\lambda )$ і $\xi ,\eta$ — незалежні, то $\xi +\eta \sim \operatorname {Erlang} (k_{1}+k_{2},\lambda )$

Зв'язок із іншими розподілами

• Розподіл Ерланга — це розподіл суми $k$ незалежних однаково розподілених випадкових величин з експоненційним розподілом. Довгострокова частота виникнення подій є оберненою до математичного сподівання $\xi$ величиною, тобто $\lambda /k.$ Інтенсивність (вікова інтенсивність відмов) розподілу Ерланга для $k>1$ монотонна в $x,$ зростає від 0 при $x=0$ до $\lambda$ при $x\to \infty$.
  • Тобто, якщо $\xi _{i}\sim \operatorname {Exp} (\lambda ),i={\overline {1,k}},$ то $\sum _{i=1}^{k}{\xi _{i}}\sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$
• Через наявність факторіала в знаменнику щільності розподілу та функції розподілу, розподіл Ерланга може бути визначеним лише при $k\in \mathbb {N}$. Тому цей розподіл іноді називають розподілом Ерланга-k (англ. Erlang-k distribution) або розподілом Ерланга k-го порядку (наприклад, розподіл Ерланга-2 (2-го порядку) — це розподіл Ерланга з параметром $k=2$). Гамма-розподіл узагальнює розподіл Ерланга, дозволяючи набувати параметру $k$ будь-якого додатнього значення, використовуючи гамма-функцію замість факторіала.
  • Тобто якщо $k\in \mathbb {N}$ і $\xi \sim \operatorname {Gamma} (k,\lambda ),$ то $\xi \sim \operatorname {Erlang} (k,\lambda )$
• Відношення експоненційного розподілу та розподілу Ерланга $n$-го порядку з однаковими коефіцієнтами норми $\lambda$ зміщене на 1 має розподіл Парето:
  • Тобто якщо $\xi \sim \operatorname {Exp} (\lambda )$ та $\eta \sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )$, то ${\frac {\xi }{\eta }}+1\sim \operatorname {Pareto} (1,n)$
• Розподіл Ерланга пов'язаний з розподілом Пуассона через Пуассонівський процес: якщо $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}\xi _{i}$ при $\xi _{i}\sim \operatorname {Exp} (\lambda ),$

то $$S_{n}\sim \operatorname {Erlang} (n,\lambda )$$ і $$\operatorname {P} (N(x)\leq n-1)=\operatorname {Pr} (S_{n}>x)=1-F_{S_{n}}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{k!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{k}.$$ В результаті маємо функцію розподілу Пуассона $F_{\eta }(n-1)$ для $\eta \sim \operatorname {Pois} (\lambda x)$.

Див. також

• Гамма-розподіл
• Розподіл Пуассона
• Експоненційний розподіл

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Моклячук М. П. Лекцiї з теорiї ймовiрностей та математичної статистики. — 2020. — 177 с.
• Турчин В. М. Теорiя ймовiрностей i математична статистика. Основнi поняття, приклади, задачi: пiдручник для студентiв вищих навчальних закладiв. — Дніпропетровськ : IМА-прес, 2014. — 556 с.