Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
В теорії ймовірностей і математичній статистиці , розподіл Леві — неперервний розподіл ймовірностей для невід'ємної випадкової величини, названий на честь французького математика Поля Леві .
Цей розподіл є одним з кількох стійких розподілів , густина імовірності яких може бути записана аналітично. Іншими прикладами є нормальний розподіл і розподіл Коші .
Густина імовірності розподілу Леві на множині
x
≥
μ
{\displaystyle x\geq \mu }
f
(
x
;
μ
,
c
)
=
c
2
π
e
−
c
2
(
x
−
μ
)
(
x
−
μ
)
3
/
2
{\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}
де
μ
{\displaystyle \mu }
c
{\displaystyle c}
F
(
x
;
μ
,
c
)
=
erfc
(
c
/
2
(
x
−
μ
)
)
{\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {c/2(x-\mu )}}\right)}
де
erfc
(
z
)
{\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)}
доповнююча функція помилок . Параметр
μ
{\displaystyle \mu }
μ
{\displaystyle \mu }
носій функції на множину [
μ
{\displaystyle \mu }
∞
{\displaystyle \infty }
f
(
x
;
μ
,
c
)
d
x
=
f
(
y
;
0
,
1
)
d
y
{\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}
де y визначено як
y
=
x
−
μ
c
{\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}
Характеристична функція розподілу Леві визначається формулою:
φ
(
t
;
μ
,
c
)
=
e
i
μ
t
−
−
2
i
c
t
.
{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}
Для
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
n th момент незміщеного розподілу Леві формально визначаються:
m
n
=
d
e
f
c
2
π
∫
0
∞
e
−
c
/
2
x
x
n
x
3
/
2
d
x
{\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}
Проте для всіх значень n > 0 інтеграл у формулі розбігається і моменти для розподілу є невизначеними. Твірна функція моментів формально визначається:
M
(
t
;
c
)
=
d
e
f
c
2
π
∫
0
∞
e
−
c
/
2
x
+
t
x
x
3
/
2
d
x
{\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}
і розбігається для
t
>
0
{\displaystyle t>0}
Як і всі стійкі розподіли окрім нормального, для розподілу Леві характерний «важкий хвіст». Хвіст функції густини розподілу асимптотично поводиться як степенева функція:
lim
x
→
∞
f
(
x
;
μ
,
c
)
=
c
2
π
1
x
3
/
2
.
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~{\frac {1}{x^{3/2}}}.}
Це легко побачити на графіку де функції густини для різних значень c при
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
Функції густини розподілу Леві в лог-лог масштабі.
Якщо
X
∼
Levy
(
μ
,
c
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Levy}}(\mu ,c)\,}
k
X
+
b
∼
Levy
(
k
μ
+
b
,
k
c
)
{\displaystyle kX+b\sim {\textrm {Levy}}(k\mu +b,kc)\,}
Якщо
X
∼
Levy
(
0
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}
X
∼
Inv-Gamma
(
1
2
,
c
2
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Inv-Gamma}}({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {c}{2}})}
обернений гамма-розподіл )
Розподіл Леві є частковим випадком розподілу Пірсона типу 5.
Якщо
Y
∼
Normal
(
μ
,
σ
2
)
{\displaystyle Y\,\sim \,{\textrm {Normal}}(\mu ,\sigma ^{2})}
нормальний розподіл ) тоді
(
Y
−
μ
)
−
2
∼
Levy
(
0
,
1
/
σ
2
)
{\displaystyle {(Y-\mu )}^{-2}\sim \,{\textrm {Levy}}(0,1/\sigma ^{2})}
Якщо
X
∼
Normal
(
μ
,
1
σ
)
{\displaystyle X\sim {\textrm {Normal}}(\mu ,{\tfrac {1}{\sqrt {\sigma }}})\,}
(
X
−
μ
)
−
2
∼
Levy
(
0
,
σ
)
{\displaystyle {(X-\mu )}^{-2}\sim {\textrm {Levy}}(0,\sigma )\,}
Якщо
X
∼
Levy
(
μ
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(\mu ,c)}
X
∼
Stable
(
1
/
2
,
1
,
c
,
μ
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Stable}}(1/2,1,c,\mu )\,}
Стійкий розподіл )
Якщо
X
∼
Levy
(
0
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Levy}}(0,c)}
X
∼
Scale-inv-
χ
2
(
1
,
c
)
{\displaystyle X\,\sim \,{\textrm {Scale-inv-}}\chi ^{2}(1,c)}
Масштабований обернений розподіл хі-квадрат )
Дискретні одновимірні Дискретні одновимірні Неперервні одновимірні Неперервні одновимірні Неперервні одновимірні Неперервні одновимірні Змішані Багатовимірні (спільні) Напрямкові Вироджені та сингулярні [en] Сімейства
