Sero ng punsiyon

Sa matematika, ang sero ng isang punsiyon (Ingles: zero of a function) o tinatawag ding ugat ng punsiyon (Ingles: root of a function) ng isang tunay, komplikado o pangkahalatang may halagang bektor na punsiyon ƒ ang miyembrong x ng sakop ng punsiyong ƒ kung saan ang ƒ(x) ay naglalaho sa $x$ :

x{\text{ kung saan }}f(x)=0\,.

Sa ibang salita, ang sero ng isang punsiyong ƒ ang halagang x na nagbibigay ng resultang sero ("0"). ^[1] Halimbawa, ang punsiyong ƒ ay inilalarawan ng pormulang:

f(x)=x^{2}-6x+9\,.

Ang ƒ ay may ugat na 3 dahil ang naging resulta sa halagang ito ay 0:

f(3)=3^{2}-6\times 3+9=0.\

Ang isang ugat ng isang polinomial ay isang sero ng kaukulang punsiyong polinomial. Ipinapakita ng pundamental na teorema ng alhebra na ang anumang di-serong polinomial ay may isang dami ng mga ugat na mas mababa sa o katumbas ng niyang grado, at na ang dami ng mga ugat ay katumbas ng grado kapag inisip ang mga komplikadong ugat (o mas heneral na, ang mga ugat sa isang kampong alhebraiko na sarado o algebraically closed field) kabilang sa kanilang mga multiplisidad. Halimbawa, ang polinomial na $f$ na may gradong dalawa, at na ipinapaliwanag ng $f(x)=x^{2}-5x+6$ , ay may dalawang ugat (o sero) na 2 at 3. $f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ at }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.$

Kung iminamap ng punsiyon ang mga tunay na bilang sa tunay na bilang, ang kaniyang mga sero ay mga $x$ -koordinado ng mga punto kung saan ang kaniyang grap ay nagtatagpo ng x-aksis. Ang isang alternatibong pangalan para tulad ng puntong $(x,0)$ ay isang $x$ -intersepto.

Kalutasan ng isang ekwasyon

Ang bawa't isang ekwasyon sa di-alam na $x$ ay maaaring muling isulat bilang:

f(x)=0

sa pamamagitan ng pagpapangkat ng lahat ng mga termino sa kaliwang tabi. Dahil sa ito, ang mga kalutasan ng tulad ng ekwasyon ay eksakto na mga sero ng punsiyong $f$ . Sa ibang salita, ang isang "sero ng isang punsiyon" ay tumpak na isang "kalutasan ng ekwasyong kinukuha kapag ipinantay ng punsiyon sa 0", at ang pag-aaral ng mga sero ng mga punsiyon ay eksakto na pareho lang ng pag-aaral ng mga kalutasan ng mga ekwasyon.

Mga polinomial na ugat

Ang bawa't isang tunay na polinomial na may gansal na grado ay may gansal na dami ng mga tunay na ugat (kabilang sa mga multiplisidad). Ganyan din, ang isang polinomial na may tukol na grado ay may tukol na dami ng mga tunay na ugat. Dahil sa ito, ang mga tunay na gansal na polinomial ay dapat may kahit lang isang tunay na ugat (kasi ang pinakamaliit na gansal na likas na bilang ay 1) yamang ang nga tukol na polinomial ay maaaring walang tunay na ugat. Napatutunayan ang itong prinsipyo sa pamamagitan ng teorema ng tagapamagitang halaga (Ingles: intermediate value theorem): dahil sa patuloy ang mga polinomial, ang halaga ng punsiyon ay dapat tumawid ng sero, habang pagbabago mula sa negatibo hanggang sa positibo o vice versa (na laging nangyayari pagdating sa mga gansal na punsiyon).

Komputasyon ng mga ugat

Madalas na kinakailangan ng komputasyon ng mga ugat ng mga punsiyon, halimbawa mga punsiyong polinomial, ang paggamit ng mga teknik na espesyal o ng aproksimasyon (e.g. paraang Newton). Gayunman, ang ilang mga punsiyong polinomial, kung ang grado ay mas mababa sa o katumbas ng 4, ay maaaring may lahat ng mga ugat na alhebraikong naipapahayag sa mga termino ng kanilang mga koepisyente (para sa mas, tingnan ang alhebraikong kalutasan).

Pangkat na sero

Sa iba't ibang sangay ng matematika, ang pangkat na sero ng isang punsiyon ay pangkat ng lahat ng niyang mga sero. Mas tumpak na, kung $f:X\to \mathbb {R}$ ay isang tunay na punsiyon (o, mas heneral na, isang punsiyon na may mga halaga sa ilang grupo ni Abel), ang pangkat na sero ay $f^{-1}(0)$ , ang inbersong imahe ng $\{0\}$ sa $X$ .

Sa ilalim ng parehong ipotesis sa kasakop ng punsiyon, ang isang pantay na pangkat ng isang punsiyong $f$ ay pangkat na sero ng punsiyong $f-c$ para sa ilang $c$ sa kasakop ng $f$ .

Ang pangkat na sero ng isang linyar na mapa ay tinatawag din na kaniyang ubod (Ingles: kernel).

Ang pangkat na kasero ng punsiyon $f:X\to \mathbb {R}$ ay komplemento ng pangkat na sero ng $f$ (i.e. ang subpangkat ng $X$ kung saan $f$ hindi ay sero).

Mga aplikasyon

Sa alhebraikong heometriya, ang unang katuturan ng isang alhebraikong barayti ay sa pamamagitan ng mga pangkat na sero. Espesipiko na, isang aping alhebraikong pangkat (Ingles: affine algebraic set, Kastila: conjunto afín algebraico) ay salubungan ng mga pangkat na sero ng iba-ibang polinomial, sa isang singsing ng mga polinomial na $k\left[x_{1},\ldots ,x_{n}\right]$ sa loob ng isang kampo. Sa itong konteksto, ang isang pangkat na sero ay minsan-minsang tinatawag na pokus na sero.

Sa analisis at heometriya, ang anumang saradong subpangkat ng $\mathbb {R} ^{n}$ ay pangkat na sero ng isang makinis na punsiyong ipinapaliwanag sa lahat ng $\mathbb {R} ^{n}$ . Ito ay balido din para sa anumang makinis na manipoldo bilang isang korolaryo ng parapagkasiksik (Ingles: paracompactness).

Sa diperensiyal na heometriya, ang mga pangkat na sero ay madalas na ginagamit para ipaliwanag ang mga manipoldo. Ang isang mahalagang espesyal na kaso ay kaso na ang $f$ ay isang makinis na punsiyon mula sa $\mathbb {R} ^{p}$ hanggang sa $\mathbb {R} ^{n}$ . Kung ang sero ay isang regular na halaga ng $f$ , ang pangkat na sero ng $f$ ay isang makinis na manipoldo na may dimensiyong $m=p-n$ sa pamamagitan ng teorema ng regular na halaga.

Halimbawa, ang yunit na $m$ -espera sa $\mathbb {R} ^{m+1}$ ay pangkat na sero ng tunay na punsiyong $f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1$ .

Tingnan din

Mga sanggunian

↑ Weisstein, Eric W. "Root". MathWorld (sa wikang Ingles).

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.

[1] Weisstein, Eric W. "Root". MathWorld (sa wikang Ingles).

[1]