Ymnigt tal

Ymnigt tal, mättat tal, överflödande tal eller rikt tal är ett positivt heltal n för vilket summan av alla dess positiva delare, inklusive n självt, är större än 2n. Värdet σ(n) - 2n, där σ(n), sigmafunktionen, är denna summa, kallas n:s ymnighet. Ymniga tal introducerades först av Nicomachus i dennes Introductio Arithmetica (cirka år 100). De tal som inte är ymniga kallas perfekta eller defekta.

De första ymniga talen är:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, 104, 108, 112, 114, 120, 126, 132, 138, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 168, 174, 176, 180, 186, 192, 196, 198, 200, 204, 208, 210, 216, 220, 222, 224, 228, 234, 240, 246, 252, 258, 260, 264, 270, … (talföljd A005101 i OEIS)

Ett ymnigt tal med ymnighet 1 kallas ett kvasiperfekt tal. Ett ymnigt tal som inte är semiperfekt kallas övernaturligt.

Egenskaper

Ett oändligt antal jämna och udda ymniga tal existerar.
Varje multipel av ett perfekt tal och varje multipel av ett ymnigt tal är ymnigt.
Varje positivt heltal större än 20 161 kan skrivas som summan av två ymniga tal.
Mängden av ymniga tal har en naturlig densitet. Marc Deléglise bevisade 1998 att naturliga densiteten av perfekta tal och ymniga tal ligger mellan 0.2474 och 0.2480.
Det första udda ymniga talet är 945.
Det minsta ymniga talet som inte är delbart med 2 eller 3 är 5391411025, vars primtalsfaktorer är 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 och 29 (talföljd A047802 i OEIS). Iannucci har härlett en metod (2005) för att hitta det minsta ymnig talet som inte är delbar med de k första primtalen. Om $A(k)$ är det minsta ymniga talet som inte är delbart med de första k primtalen gäller för alla $\epsilon >0$ att $(1-\epsilon )(k\ln k)^{2-\epsilon }<\ln A(k)<(1+\epsilon )(k\ln k)^{2+\epsilon }$ för tillräckligt stora k.

Se även