Lyckotal

Inom talteorin är ett lyckotal ett naturligt tal i en mängd som genereras av ett "såll", liknande Eratosthenes såll som genererar primtal.

Börja med en talföljd som börjar med 1, och som innehåller ett antal positiva heltal

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25,

Alla jämna tal elimineras, vilket innebär att endast de udda talen finns kvar

1,    3,    5,    7,    9,    11,    13,    15,    17,    19,    21,    23,    25,

Den andra termen i talföljden är 3. Det innebär att vart tredje tal elimineras

1,    3,          7,    9,           13,    15,           19,    21,           25,

Den tredje termen i talföljden är 7. Det innebär att vart sjunde tal elimineras

1,    3,          7,    9,           13,    15,                  21,           25,

När detta har skett är de tal som finns kvar lyckotal:

1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, 87, 93, 99, 105, 111, 115, 127, 129, 133, 135, 141, 151, 159, 163, 169, 171, 189, 193, 195, 201, 205, 211, 219, 223, 231, 235, 237, 241, 259, 261, 267, 273, 283, 285, 289, 297, 303, … (talföljd A000959 i OEIS)

En animation som visar lyckotalssållet. Talen i rött är lyckotal.

Begreppet introducerades 1956 i en artikel av Gardiner, Lazarus, Metropolis och Ulam. De föreslog att kalla sin definition för såll, närmare bestämt "sållet av Josefus Flavius".^[1]

Lyckotal delar vissa egenskaper med primtal, såsom asymptotiskt beteende enligt primtalssatsen, och är även en utökning av Goldbachs hypotes. Det finns oändligt många lyckotal. Om emellertid L_n betecknar det n:te lyckotalet, och p_n det n:te primtalet, så är L_n > p_n för alla tillräckligt stora n.^[2]

På grund av dessa uppenbara anslutningar med primtalen har vissa matematiker hypoteser om att dessa egenskaper finns i en större klass av uppsättningar av tal som genereras av såll av en viss okänd form, även om det finns väldigt lite teoretisk grund för denna förmodan. Tvillinglyckotal och tvillingprimtal tycks också uppstå med liknande frekvens.

Lyckoprimtal

Ett lyckoprimtal är ett lyckotal som även är primtal. Det är inte känt om det finns oändligt många lyckliga primtal. De första lyckoprimtalen är:

3, 7, 13, 31, 37, 43, 67, 73, 79, 127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367, 409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673, 727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997, 1009, 1021, 1039, 1087, 1093, 1117, 1123, … (talföljd A031157 i OEIS)

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Lucky number, 16 oktober 2013.

Noter

^ Gardiner et al (1956)
^ Hawkins, D.; Briggs, W.E. (1957). ”The lucky number theorem”. Mathematics Magazine 31 (2): sid. 81–84,277–280. doi:10.2307/3029213. ISSN 0025-570X.

Källor

Gardiner, Verna; Lazarus, R.; Metropolis, N.; Ulam, S. (1956). ”On certain sequences of integers defined by sieves”. Mathematics Magazine 29 (3): sid. 117–122. doi:10.2307/3029719. ISSN 0025-570X.
Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd). Springer-Verlag. sid. C3. ISBN 978-0-387-20860-2

Externa länkar

Peterson, Ivars. MathTrek: Martin Gardner's Lucky Number
Weisstein, Eric W., "Lucky Number", MathWorld. (engelska)
Lucky Numbers by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
Symonds, Ria. ”31: And other lucky numbers”. Numberphile. Brady Haran. Arkiverad från originalet den 19 september 2016. https://web.archive.org/web/20160919165741/http://www.numberphile.com/videos/lucky_numbers.html. Läst 16 oktober 2013.

[1] Gardiner et al (1956)

[2] Hawkins, D.; Briggs, W.E. (1957). ”The lucky number theorem”. Mathematics Magazine 31 (2): sid. 81–84,277–280. doi:10.2307/3029213. ISSN 0025-570X.

[1]

[2]