Twierdzenie Weierstrassa o kresach

Karl Weierstraß (1815–1897)

Twierdzenie Weierstrassa o kresach (znane też pod innymi nazwami) – twierdzenie analizy matematycznej i topologii o własnościach ciągłych funkcji rzeczywistych. W najprostszym przypadku jest to fakt analizy rzeczywistej o takich funkcjach na domkniętych i ograniczonych przedziałach rzeczywistych; mówi, że funkcje te mają globalne ekstrema – wartości najwyższą i najniższą, inaczej maksimum i minimum. Twierdzenia Weierstrassa o kresach używa się w dowodach innych faktów analizy rzeczywistej jak twierdzenie Rolle’a.

Przedziały domknięte i ograniczone są ciągowo zwarte na mocy twierdzenia Bolzana-Weierstrassa i zwarte na mocy twierdzenia Heinego-Borela. Powyższe twierdzenie Weierstrassa o kresach ma uogólnienia opisujące funkcje ciągłe na innych zbiorach zwartych, rozważanych w:

• dowolnych przestrzeniach euklidesowych;
• dowolnych innych przestrzeniach metrycznych;
• dowolnych innych przestrzeniach topologicznych. Ta postać jest też znana jako uogólnione twierdzenie Weierstrassa.

Nazwa upamiętnia niemieckiego matematyka z XIX wieku: Karla Weierstrassa.

Nazewnictwo

Fakt ten jest też znany jako twierdzenie:

• Weierstrassa;
• Weierstrassa o osiąganiu kresów;
• Weierstrassa o przyjmowaniu kresów;
• Weierstrassa o ekstremach globalnych;
• Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym;
• o najmniejszej i największej wartości funkcji.

Bywa też wykładany bez osobnej nazwy.

Przypadek zmiennej rzeczywistej

Wykres przedstawia ciągłą funkcję $f$ określoną na przedziale domkniętym $[a,b].$ Twierdzenie Weierstrassa o kresach mówi, że w tym przedziale istnieją ekstrema globalne, czyli maksimum i minimum, oznaczone odpowiednio $c,d.$

Twierdzenie

Jeśli funkcja rzeczywista $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ jest ciągła, to:

1. jej obraz jest ograniczony;
2. funkcja ta osiąga swoje kresy, tzn. ma globalne minimum i maksimum:

$\exists c,d\in [a,b]\ \forall x\in [a,b]:f(d)\leqslant f(x)\leqslant f(c).$

Dowód

1. Każdy z przedziałów $(-M,M),$ dla $M\in \mathbb {R} ,$ jest zbiorem otwartym, a $f$ jest ciągła, więc ich przeciwobrazy $f^{-1}[(-M,M)]$ też są otwarte (w zbiorze $[a,b]$). Rodzina $\{f^{-1}[(-M,M)]:M\in \mathbb {R} \}$ pokrywa przedział $[a,b],$ więc ze zwartości tego ostatniego istnieje podpokrycie skończone – istnieją $M_{1},\dots ,M_{s}>0,$ dla których $[a,b]=f^{-1}[(-M_{1},M_{1})]\cup \ldots \cup f^{-1}[(-M_{s},M_{s})].$ Wówczas dla dowolnego $x\in [a,b]$ mamy $-M\leqslant f(x)\leqslant M,$ gdzie $M=\max\{M_{1},\dots ,M_{S}\},$ co oznacza, że $f$ jest funkcją ograniczoną.
2. Oznaczmy kres górny obrazu $f$ przez ${\tilde {d}}.$ ${\tilde {d}}\in \mathbb {R}$ i istnieje ciąg $(d_{n})_{n=0}^{\infty }$ punktów przedziału $[a,b]$ dla których ciąg $f(d_{n})$ jest zbieżny do ${\tilde {d}}.$ Z twierdzenia Bolzana-Weierstrassa wiemy, że istnieje podciąg $(d_{n_{k}})_{k=0}^{\infty }$ ciągu $(d_{n})_{n=0}^{\infty }$ zbieżny do pewnej granicy $d.$ Wtedy na mocy ciągłości funkcji $f$ otrzymujemy $f({d})=\lim _{k\to \infty }f(d_{n_{k}})={\tilde {d}}.$ A więc wartość funkcji $f$ w punkcie ${d}\in [a,b]$ jest kresem górnym obrazu $f$ (a więc także $f(x)\leqslant f(d)$ dla wszystkich $x\in [a,b]$). W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby $c,$ dla której $f({c})=\inf\{f(x):a\leqslant x\leqslant b\}.$

Analiza założeń

Funkcja tangens na przedziale ograniczonym ${\big (}-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}{\big )}$ jest ciągła i nie jest na nim ograniczona. Ograniczenie obrazu funkcji jest gwarantowane tylko przy dodatkowym założeniu, że przedział, na którym funkcja jest ciągła, jest także domknięty.

Oba założenia o dziedzinie funkcji – czyli że odcinek $[a,b]$ jest domknięty i ograniczony – są istotne. Na przykład:

• funkcja $f\colon (0,1]\ni x\mapsto 1/x\in \mathbb {R}$ jest ciągła, ale nie jest ograniczona;
• podobnie $f\colon \mathbb {R} \ni x\mapsto e^{x}\in \mathbb {R}$ nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.

Bibliografia

Książki publikowane drukiem

• Stefan Banach: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1957.
• Michał Krych: Analiza matematyczna dla ekonomistów. Wyd. I. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2010. ISBN 978-83-235-0776-5.
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 5. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972, seria: Biblioteka Matematyczna.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 2.
• Anna Leksińska, Wacław Leksiński: Elementy matematyki wyższej. Warszawa: PWN, 1978, seria: Matematyka dla politechnik.
• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Teodor Przymusiński: Topologia ogólna [w:] Leksykon matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1995. ISBN 83-214-0783-8.
• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14946-8.
• Antoni Smoluk: Analiza matematyczna. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-634-3.
• Tomasz Szymczyk, Stanisław Rabiej, Anna Pielesz, Jan Desselberger: Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne, astronomiczne. Bielsko-Biała: PPU Park, 2001. ISBN 83-7266-054-9.
• Dariusz Wrzosek: Matematyka dla biologów. Wyd. II, zmienione. Warszawa: Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, 2016. ISBN 978-83-235-0460-3.

Dokumenty cyfrowe

• PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2024-07-08] .

Linki zewnętrzne

• Alicja Dembczak-Kołodziejczyk, Jak wyznaczyć największą/najmniejszą wartość funkcji?, Zintegrowana Platforma Edukacyjna – Ministerstwo Edukacji Narodowej, zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Extreme Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-14].