Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Szarkowskiego – twierdzenie podane w 1964 r. przez ukraińskiego matematyka Aleksandra Mikołajewicza Szarkowskiego dotyczące występowania punktów okresowych dla ciągłych funkcji prostej rzeczywistej. Twierdzenie to jest również uogólnieniem twierdzenia Li-Yorke’a z 1975 r.

Porządek Szarkowskiego

Porządek Szarkowskiego to porządek w zbiorze liczb naturalnych $\mathbb {N} =\{1,2,\dots \},$ oznaczany $\triangleleft ,$ w którym elementem najmniejszym jest liczba 1 a największym 3:

${\begin{array}{l}3&\triangleright {}\ 5&\triangleright {}\ 7&\triangleright {}\ 9&\triangleright \ \ldots \\3\cdot {}2&\triangleright {}\ 5\cdot {}2&\triangleright {}\ 7\cdot {}2&\triangleright {}\ 9\cdot {}2&\triangleright \ \ldots \\3\cdot {}2^{2}&\triangleright {}\ 5\cdot {}2^{2}&\triangleright {}\ 7\cdot {}2^{2}&\triangleright {}\ 9\cdot {}2^{2}&\triangleright \ \ldots \\\ \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots &\quad \vdots \\\ldots &\triangleright {}\ 2^{3}&\triangleright {}\ 2^{2}&\triangleright {}\ 2^{1}&\triangleright {}\ 1\\\end{array}}$

Twierdzenie Szarkowskiego

Niech $f\colon J\to \mathbb {R}$ będzie funkcją ciągłą, a $J\subseteq {}\mathbb {R}$ to domknięty odcinek lub cała prosta $\mathbb {R} .$ Jeśli $f$ ma punkt okresowy o okresie $k$ oraz $k\triangleleft {}l$ w porządku Szarkowskiego, to $f$ ma punkt okresowy o okresie $l.$

Idea dowodu

Zawiły dowód podany przez Szarkowskiego w 1964 roku był wielokrotnie upraszczany. Nowoczesny dowód używa niżej zdefiniowanego pojęcia A-grafu.

A-graf

Powiemy, że przedział $I$ nakrywa przedział $J$ przy funkcji $f,$ gdy $f(I)\supseteq {}J.$ Niech $x$ będzie punktem okresowym o okresie $n>1$ i orbicie $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}$ uporządkowanej następująco: $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}.$ Oznaczmy przedziały $I_{k}=[x_{k},x_{k+1}]$ dla $k=1\dots {n-1}.$ Graf o wierzchołkach $I_{1},I_{2},\dots ,I_{n-1}$ nazywamy A-grafem. Krawędź $I_{j}\to {}I_{k}$ występuje w A-Grafie, gdy przedział $I_{j}$ nakrywa $I_{k}.$

Tworzenie orbit za pomocą A-grafu

Niech $J_{1}\to J_{2}\to \ldots \to J_{n}\to J_{1}$ będzie cyklem w A-grafie. Jeśli nie jest to cykl, który jest prostym złożeniem innych cykli, to istnieje podprzedział $K\subseteq J_{1}$ taki, że $f^{s}(K)\subseteq J_{k}$ dla $s=1,2\dots ,n-1$ oraz $f^{n}(K)\neq J_{1}.$

Szkic dowodu

Mając dany punkt okresowy $x_{1}$ i jego orbitę $x_{1},\dots ,x_{n},$ tworzymy dla niego $(n-1)$-wierzchołkowy A-graf. Aby pokazać istnienie punktu okresowego o okresie $k,$ znajdujemy nietrywialny cykl długości $k.$

Uogólnienie na wyższe wymiary

Twierdzenie Szarkowskiego nie zachodzi w wymiarach wyższych niż 1. Kontrprzykład: niech $T\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ będzie obrotem o kąt $90^{\circ }$ wokół punktu $(0,0).$ Przekształcenie $T$ ma dokładnie jeden punkt stały $(0,0),$ a wszystkie pozostałe punkty są okresowe o okresie $4.$

Bibliografia

• L.S. Block, W.A. Coppel, Dynamics in One Dimension, Lecture Notes in Mathematics, tom 1513, 1992, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Zawiera nietrudny dowód twierdzenia Szarkowskiego bazujący na A-Grafach.
• O ustawianiu liczb naturalnych, czyli twierdzenie Szarkowskiego. W: Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki. Warszawa: Prószyński i S-ka, 1997. ISBN 83-7180-145-9. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Sharkovsky's Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-08-26].
• Aleksandr Nikolayevich Sharkovsky, Sharkovsky ordering (ang.), Scholarpedia, scholarpedia.org, 2008 [dostęp 2023-08-26].