Przejdź do zawartości

Twierdzenie Heinego-Cantora

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

Dowód

[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją ciągłą działającą z przestrzeni zwartej w przestrzeń metryczną Ustalmy

Z ciągłości dla każdego istnieje liczba taka, że dla każdego z kuli

Na mocy zwartości z pokrycia można wybrać podpokrycie skończone

Niech Wówczas na mocy nierówności trójkąta dla dowolnych takich, że istnieje punkt taki, że ponadto:

To dowodzi, że jest jednostajnie ciągła[1].

Historia

[edytuj | edytuj kod]

Według opracowania Rusnocka i Kerra-Lawsona, Heine opublikował pierwszą definicję jednostajnej ciągłości (1870) i dowód twierdzenia (1872), nie przypisując sobie oryginalności. Zbliżone konstrukcje występowały implicite już wcześniej, m.in. u Bolzana i Dirichleta[2]. Koncepcje Heinego rozwijały się w tym obszarze w tandemie ze współczesnymi im publikacjami Cantora[3].

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Anthony William Knapp, Basic real analysis, wyd. 2, Boston: Birkhäuser, 2005, s. 112, ISBN 978-0-8176-4441-3, OCLC 262679895 [dostęp 2019-06-18].
  2. Paul Rusnock, Angus Kerr-Lawson, Bolzano and uniform continuity, „Historia Mathematica”, 32 (3), 2005, s. 303–311, DOI10.1016/j.hm.2004.11.003 [dostęp 2019-06-18] (ang.).
  3. Akihiro Kanamori, Cantor and Continuity [online], in press, 1 maja 2018.

Linki zewnętrzne

[edytuj | edytuj kod]

Inne dowody: