Problem bazylejski

Problem bazylejski – zagadnienie elementarnej analizy matematycznej i teorii liczb. Polega na obliczeniu dokładnej sumy odwrotności kwadratów wszystkich liczb naturalnych, tj. sumy szeregu:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\ldots +{\frac {1}{n^{2}}}\right).

Po raz pierwszy sformułował to w 1644 roku włoski matematyk Pietro Mengoli, a rozwiązał w 1735 roku Leonhard Euler. Ponieważ problem ten przez blisko 100 lat opierał się podejmowanym przez ówczesnych czołowych matematyków próbom rozwiązania, podołanie temu zadaniu przez dwudziestoośmioletniego Eulera przyniosło mu natychmiastową sławę^{[potrzebny przypis]}. Euler w znacznym stopniu uogólnił pierwotne zagadnienie; jego pomysły zostały podjęte w 1859 przez Bernarda Riemanna w jego doniosłej pracy Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe, w której zdefiniował funkcję dzeta i udowodnił jej podstawowe właściwości. Nazwa problemu bazylejskiego pochodzi od Bazylei, rodzinnego miasta Eulera i rodziny Bernoullich – znanych szwajcarskich matematyków, którzy bezskutecznie zmagali się z tym zadaniem.

Suma ta z dokładnością do szóstego miejsca po przecinku wynosi 1,644934. Istotą bazylejskiego problemu było jednak znalezienie odpowiedzi na pytanie jaka jest dokładna suma tego szeregu i przeprowadzenie na to odpowiedniego dowodu. Euler w swoim odkryciu ogłoszonym w 1735 stwierdził, że suma ta wynosi $\pi ^{2}\!/6.$ W ówczesnej argumentacji użył pewnych zabiegów nieuprawnionych wedle wiedzy z tamtego roku; w pełni poprawny w sensie rygorów matematycznych dowód przeprowadził w 1741.

Dowód Eulera

Euler w swoim dowodzie rozszerzył obserwacje dotyczące skończonych wielomianów, uznając, że te same właściwości mają wielomiany nieskończone. Jego założenia wymagają uzasadnienia, jednak Euler uznał, że jeżeli jego wynik jest zgodny z wynikiem uzyskanym obliczeniowo, to wystarczy, by ogłosić rezultat swojej pracy w środowisku matematycznym.

Dowód Eulera opierał się na rozwinięciu w szereg Taylora funkcji sinus:

\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots

Dzieląc stronami przez x otrzymujemy:

{\frac {\sin(x)}{x}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\ldots

Miejsca zerowe funkcji ${\frac {\sin x}{x}}$ występują w $x=n\cdot \pi ,$ gdzie $n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\dots$

Załóżmy teraz, że możemy wyrazić ten szereg potęgowy jako iloczyn czynników liniowych, tak jak to robimy ze skończonymi wielomianami:

{\begin{aligned}{\frac {\sin(x)}{x}}&=\left(1-{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{2\pi }}\right)\left(1-{\frac {x}{3\pi }}\right)\left(1+{\frac {x}{3\pi }}\right)\ldots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\ldots \end{aligned}}

Gdybyśmy przemnożyli ten iloczyn i zebrali wszystkie składniki zawierające $x^{2},$ zobaczylibyśmy, że współczynnik przy drugiej potędze rozwinięcia jest równy:

-\left({\frac {1}{\pi ^{2}}}+{\frac {1}{4\pi ^{2}}}+{\frac {1}{9\pi ^{2}}}+\ldots \right)=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.

Jednak w oryginalnym rozwinięciu funkcji ${\frac {\sin(x)}{x}}$ w szereg, współczynnik przy $x^{2}$ jest równy −1/(3!) = −1/6. Te dwa współczynniki muszą być sobie równe, zatem:

-{\frac {1}{6}}=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.

Mnożąc stronami przez $-\pi ^{2},$ otrzymujemy ostateczny wynik:

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Q.e.d.

Bibliografia

Number Theory: An Approach Through History, Andre Weil, Springer, ISBN 0-8176-3141-0.
Euler: The Master of Us All, William Dunham, MAA, ISBN 0-88385-328-0.
JohnJ. Derbyshire JohnJ., Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Washington, DC: Joseph Henry Press, 2003, ISBN 0-309-08549-7, OCLC 61519857 .
Proofs From the Book, Martin Aigner, Gunter Ziegler, Springer, ISBN 3-540-67865-4.
Riemann’s Zeta Function, Harold M. Edwards, Dover, ISBN 0-486-41740-9.

Linki zewnętrzne

JarosławJ. Górnicki JarosławJ., Euler spotyka Ramanujana, „Delta”, lipiec 2024, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-07-07] .
Grant Sanderson, Why is pi here? And why is it squared? A geometric answer to the Basel problem, kanał 3blue1brown na YouTube, 2 marca 2018 [dostęp 2021-03-14].