ปัญหาบาเซิล

ปัญหาบาเซิล เป็นปัญหาทางคณิตวิเคราะห์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีจำนวน ปัญหานี้ถูกตั้งขึ้นครั้งแรกโดย ปิเอโตร เมนโกลี ในปี พ.ศ. 2187 และถูกแก้โดย เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ในปี พ.ศ. 2277 ปัญหานี้ได้ตั้งชื่อตามชื่อของเมืองบาเซิล บ้านเกิดของออยเลอร์

ปัญหาดังกล่าวเกี่ยวกับการหาผลรวมของอนุกรม

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right).$

ผลรวมของอนุกรมดังกล่าวมีค่าประมาณ 1.644934 ปัญหาบาเซิลถามถึงการหาค่าที่แม่นยำในรูปแบบปิดของผลรวมดังกล่าว ออยเลอร์ค้นพบว่าผลรวมดังกล่าวมีค่าเท่ากับ π²/6 และได้ประกาศการค้นพบในปี พ.ศ. 2277

วิธีการหาผลรวมของออยเลอร์

วิธีการของออยเลอร์ มาจากการพิจารณาคุณสมบัติบางประการของพหุนามจำกัด แลัวสมมุติว่าคุณสมบัติเหล่านี้ยังคงเป็นจริงในกรณีอนันต์ หรืออนุกรมกำลัง

ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ ของฟังก์ชันไซน์:

$\sin {x}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...$

ซึ่งออยเลอร์มองฝั่งขวาเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์เป็นอนันต์ แล้วใช้คุณสมบัติที่ว่าพหุนามใด ๆ สามารถเขียนเป็นผลคูณของตัวประกอบดีกรีหนึ่งได้ ซึ่งรากของฟังก์ชันไซน์อยู่ที่ $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,...$ จึงได้เป็นผลคูณว่า

$x(x-\pi )(x+\pi )(x-2\pi )(x+2\pi )(x-3\pi )(x+3\pi )...=x(x^{2}-\pi ^{2})(x^{2}-2^{2}\pi ^{2})(x^{2}-3^{2}\pi ^{2})...$

หรือเขียนอีกแบบได้เป็น

$Ax\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)...$

ซึ่งจากสมบัติว่า ${\frac {sinx}{x}}\rightarrow 1$ เมื่อ $x\rightarrow 0$ แสดงว่า $A=1$ ดังนั้น

$x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...=\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {x^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)...$

จับสัมประสิทธิ์ของ $x^{3}$ ทั้งสองข้างมาเท่ากัน จะได้ว่า

${\begin{aligned}-{\frac {1}{3!}}&=-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}\pi ^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}\pi ^{2}}}-...\\{\frac {\pi ^{2}}{6}}&=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+...\end{aligned}}$

สรุปได้ว่า ${\frac {\pi ^{2}}{6}}$เป็นผลรวมของอนุกรม

แหล่งข้อมูลอื่น

• A013661 จาก The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences®