Działanie dwuargumentowe
Działanie dwuargumentowe, działanie binarne[1] – działanie algebraiczne o argumentowości równej dwa, czyli funkcja przypisująca dwóm elementom jednego zbioru element tego samego zbioru[2]: Takie działania bywają też nazywane wewnętrznymi dla kontrastu z działaniami zewnętrznymi[3] opisanymi w dalszej sekcji.
Działania dwuargumentowe pojawiają się między innymi w arytmetyce i są jednym z głównych przedmiotów badań algebry[2]. Takimi działaniami definiuje się podstawowe struktury algebraiczne jak:
- grupy i ich uogólnienia na monoidy, półgrupy i grupoidy;
- ciała i ich uogólnienia na pierścienie i półpierścienie;
- algebry Boole’a i ich uogólnienia jak kraty i półkraty.
Działania dwuargumentowe mogą mieć różne własności jak przemienność[4], łączność[5] i rozdzielność względem innego działania na tym samym zbiorze[6]. Elementy zbioru, na którym określono działanie, mogą mieć względem tego działania szczególne własności jak neutralność[7] i idempotentność[8]. Własności działań i istnienie takich elementów pojawiają się w aksjomatycznych definicjach wspomnianych struktur.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]Działania wewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Sa to funkcje przypisująca każdej parze uporządkowanej elementów danego zbioru element tego samego zbioru:
Przykłady to:
- dodawanie (+) liczb naturalnych i jego uogólnienia jak dodawanie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
- odejmowanie (−) liczb całkowitych i jego uogólnienia jak odejmowanie liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
- mnożenie (·) liczb naturalnych i jego uogólnienia jak odejmowanie liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych, zespolonych i innych;
- dzielenie (:) niezerowych liczb wymiernych, niezerowych rzeczywistych, niezerowych zespolonych i innych. Nie jest to działanie na wszystkich liczbach wymiernych, gdyż nie jest określone dzielenie przez zero – wynik dla par postaci [2];
- potęgowanie dodatnich liczb naturalnych i jego uogólnienie na potęgowanie dodatnich liczb rzeczywistych;
- dodawanie wektorów w przestrzeni liniowej;
- złożenie funkcji działających wewnątrz ustalonego zbioru, inaczej działań jednoargumentowych:
Mnożenie i dodawanie liczb jest łączne i przemienne. Z kolei odejmowanie i dzielenie, nie są ani łączne, ani przemienne. Elementem neutralnym dodawania liczb rzeczywistych jest elementem neutralnym mnożenia jest Działania odejmowania i dzielenia liczb rzeczywistych nie mają elementów neutralnych. W ogólności składanie funkcji jest łączne, ale nie jest przemienne[potrzebny przypis].
Działania zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]Działanie zewnętrzne to funkcja przypisująca każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów oraz element pewnego zbioru
Przykładami takich działań są
- mnożenie przez skalar w przestrzeni liniowej nad ciałem
- działanie grupy na zbiorze
Oznaczenia
[edytuj | edytuj kod]Działania, w przeciwieństwie do funkcji zapisywanych zwykle z wykorzystaniem zapisu przedrostkowego, np. opisuje się najczęściej za pomocą zapisu wrostkowego, np. choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby korzystać z pozostałych sposobów: dla funkcji (działania) wyróżnia się notacje
- przedrostkową, prefiksową lub polską,
- przyrostkową, postfiksową lub odwrotną polską,
- wrostkowa, infiksowa,
Przykładowo wyrażenie wrostkowe będzie miało następującą postać
- prefiksową:
- postfiksową:
Przewagą notacji przyrostkowej, jak i przedrostkowej nad notacją wrostkowej jest fakt, że nawiasy w wyrażeniach można pominąć nawet wtedy, gdy działanie nie jest łączne.
Ze względu na tradycję, szczególnie jeśli rozważa się więcej niż jedno działanie i pozostają one między sobą w pewnej relacji, to funkcje w zapisie addytywnym zapisuje się zwykle z wykorzystaniem symboli zawierających:
- plus:
- lub
- zwężających się ku dołowi:
Działanie odwrotne do powyższego zapisuje się zazwyczaj za pomocą symboli zawierających poziomą kreskę
Symbole działań w zapisie multiplikatywnym obejmują m.in.:
- kropkę lub okrągły znak:
- iks:
- gwiazdkę:
- lub
- zwężające się ku górze
Popularne działania multiplikatywne (mnożenia) częstokroć nie posiadają oznaczenia. Działanie odwrotne do powyższego oznacza się najczęściej przez notacji wynikającej z definicji potęgowania.
Strukturę nazywa się grupoidem. Jeśli jest ono dodatkowo łączne, strukturę tę nazywa się półgrupą. Jeśli działanie ma dodatkowo element neutralny, to struktura jest monoidem. Jeśli struktura jest grupą ze względu na przemienne działanie i półgrupą ze względu na przy czym działanie jest rozdzielne względem to strukturę tę nazywa się pierścieniem. Jeżeli działanie jest przemienne, to dowolną z powyższych struktur nazywa się przemienną.
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ grupoid, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06] .
- ↑ a b c działanie, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06] .
- ↑ Paweł Lubowiecki, cz. I Działanie wewnętrzne i zewnętrzne oraz grupa, Wojskowa Akademia Techniczna, kanał „UczelniaWAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-06].
- ↑ przemienność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06] .
- ↑ łączność działania, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06] .
- ↑ rozdzielność, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06] .
- ↑ neutralny element działania, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06] .
- ↑ idempotent, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-09-06] .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Eric W. Weisstein , Binary Operation, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2023-08-30].
- Binary operation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-30].