Funkcja częściowa

Przykład funkcji częściowej.

Jedno z przedłużeń funkcji częściowej z poprzedniej ilustracji.

Funkcja częściowa z $X$ do $Y$ – funkcja $f\colon X'\to Y,$ gdzie $X'$ jest podzbiorem $X$.

Funkcję częściową z $X$ do $Y$ oznacza się $f\colon X\nrightarrow Y.$

Jest to uogólnienie pojęcia funkcji polegające na tym, że nie wymaga się, aby $f$ odwzorowywało każdy element zbioru $X$ na element zbioru $Y$ (lecz elementy pewnego podzbioru $X'$ zbioru $X$). Jeśli $X'=X,$ to $f$ nazywa się po prostu funkcją. Funkcje częściowe są często używane wtedy, gdy dokładna dziedzina funkcji, $X',$ nie jest znana.

Dla funkcji częściowej $f$ dla każdego elementu $x\in X,$ albo:

• $f(x)=y\in Y$ ($y$ jest jedynym takim elementem $Y$) albo
• $f(x)$ jest niezdefiniowana.

Jeśli dla funkcji częściowej $f$ istnieje taka funkcja $g\colon X\to Y,$ że dla każdego elementu $x$ zbioru $X'$ zachodzi równość $f(x)=g(x),$ to funkcję $g$ nazywamy przedłużeniem funkcji $f.$ Mówimy wtedy, że funkcja $f$ jest funkcją częściową funkcji $g$. Funkcję częściową $f$ funkcji $g$ oznaczamy wtedy symbolem $g|X'.$

Dziedzina funkcji częściowej

Są obecnie dwa poglądy na dziedzinę funkcji częściowej. Większość matematyków, włączając w to specjalistów od teorii rekursji, używa zwrotu dziedzina $f$ dla zbioru wszystkich wartości $x,$ dla których $f(x)$ jest zdefiniowana ($X'$ w definicji powyżej). Lecz część matematyków, w szczególności ci specjalizujący się w teorii kategorii, uważa za dziedzinę funkcji częściowej $f\colon X'\to Y$ zbiór $X,$ i nazywa zbiór $X'$ dziedziną definicji.

Własności

• Jeśli $f$ jest funkcją częściową funkcji $g,$ to $f\subset g$ (jako podzbiory $X\times Y$).
• Każdą funkcję częściową $f$ można przedłużyć do pewnej funkcji $g,$ na ogół na wiele sposobów. Ustalmy na przykład element $y_{0}$ zbioru $Y$ i przyjmijmy:

$g(x)={\begin{cases}f(x),&{\text{gdy }}x\in X'\\y_{0},&{\text{gdy }}x\in X\setminus X'\end{cases}}$

• Funkcja częściowa jest nazywana injekcją lub surjekcją, gdy istnieje jej przedłużenie do funkcji, która jest odpowiednio injekcją lub surjekcją. Funkcje częściowe mogą być jednocześnie injektywne i surjektywne, ale pojęcie bijekcji stosuje się tylko do funkcji.
• Injektywna funkcja ma odwrotność, która jest funkcją częściową injektywną.
• Odwrotność funkcji częściowej, która jest jednocześnie injekcją i surjekcją jest funkcją injektywną..

Przykłady

• Rozpatrzmy pierwiastek kwadratowy ograniczony do liczb całkowitych: $g\colon \mathbb {Z} \nrightarrow \mathbb {Z} ,\ g(n):={\sqrt {n}}.$

Wtedy $g(n)$ jest zdefiniowana dla tych liczb $n,$ które są dokładnymi pierwiastkami (tzn. 0, 1, 4, 9, 16, ...). Dlatego $g(25)=5,$ lecz $g(26)$ jest niezdefiniowana.

• Logarytm zmiennej zespolonej $\ln :\mathbb {C} \nrightarrow \mathbb {C}$ jest funkcją częściową o dziedzinie $\{z=re^{i\varphi }\colon \;r>0,-\pi <\varphi <\pi \},$ czyli płaszczyźnie zespolonej pozbawionej liczb rzeczywistych niedodatnich.

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości wraz ze wstępem do opisowej teorii mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
• B. Szabat: Wstęp do analizy zespolonej. Cz. 1. Funkcje jednej zmiennej. Moskwa: Nauka, 1985. (ros.).