Funkcja Riemanna

Wykres dla przedziału [0,1]

Funkcja Riemanna – funkcja rzeczywista zdefiniowana wzorem:

$f(x)={\begin{cases}0&{\mbox{gdy }}x{\mbox{ jest niewymierne}}\\{\frac {1}{n}}&{\mbox{gdy }}x={\frac {m}{n}}{\mbox{ dla pewnego ułamka nieskracalnego }}\,{\frac {m}{n}}{\mbox{ o dodatnim }}n\end{cases}}$

W szczególności, $f(x)=1$ dla wszystkich argumentów $x$ całkowitych, ponieważ dla każdej liczby całkowitej x nieskracalną postacią ułamka ${\tfrac {m}{n}}=x$ jest ${\tfrac {x}{1}}.$

Nazwa pochodzi od nazwiska Bernharda Riemanna, jednak występują też inne nazwy.

Własności

• Ciągłość: Funkcja ta jest ciągła w każdym niewymiernym punkcie swojej dziedziny, i nieciągła w punktach wymiernych.
• Całkowalność: Funkcja Riemanna jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale domkniętym $[a,b],$ ponieważ miara zbioru punktów nieciągłości jest równa 0. Ponadto,

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=0.$

Zobacz też

• funkcja Dirichleta
• twierdzenie Blumberga