Fra Wikipedia, den frie encyklopedi
Stokes' teorem sier hvordan et linjeintegral rundt en lukket kurve kan omskrives som et flateintegral over en flate som ligger innenfor denne kurven:
![{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {a} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/812e0c4fa550450c84375e0bc6cefc6a254f0cce)
Her er kurven C randen til flaten S, matematisk uttrykt som C = ∂ S. Det kan være nyttig å bruke teoremet begge veier.
Et eksempel på bruk er innen elektromagnetismen hvis en vil omskrive Faradays induksjonslov fra integralform til differensialform:
![{\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {\partial \over \partial t}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1570ae85b26fbf8741dee631a5e597955ca099c6)
gir ved Stokes' teorem:
![{\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot d\mathbf {a} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de75e43a5f14473731c4bb2fd67a6b8bc0b0a19c)
Derivasjonsoperatoren på tid i det siste uttrykket kan settes på innsiden av integraltegnet siden tida er uavhengige av arealet:
![{\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot d\mathbf {a} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cc6453483e6f2a0059b794585f8de1a999c51b)
Ettersom integralet er helt likt på begge sider, kan integrasjonsoperatorene fjernes:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb118e22c941e34f5537dbbdcaa3d7ba23603e0)
Vi har her fått Faradays lov på differensialform.