스토크스의 정리

미분기하학에서 스토크스의 정리(영어: Stokes’ theorem)는 매끄러운 다양체 위의 미분 형식의 적분에 관한 정리다. 이에 따라, 미분 형식의 외미분을 다양체에 적분한 값은, 그 미분 형식을 다양체의 경계에 대하여 적분한 값과 같다. 벡터 미적분학의 몇몇 정리를 일반화한 것이다.

도입

미적분학의 기본정리는 구간 $[a,b]$ 위의 함수 $f$ 의 적분은 $f$ 의 부정적분인 $F$ 를 찾는 것으로 계산할 수 있다는 정리이다.

\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)

스토크스의 정리는 다음과 같은 관점에서 이 정리를 일반화한다.

$\scriptstyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)$ 로 $F$ 가 결정되는 것에서, 미분 형식의 관점에서 보면 $f(x)dx$ 는 0-형식(0-form)의 외미분(exterior derivative)이 된다. 즉, 함수 $F$ 에 대해 $dF=fdx$ 이다. 일반화된 스토크스 정리는 $F$ 대신 더 높은 미분 형식에서도 적용 가능하다.
폐구간 $[a,b]$ 는 경계를 갖는 일차원 매끄러운 다양체(one-dimensional manifold with boundary)의 간단한 예이다. 경계는 두 점 $a,b$ 로 이루어진 집합이 된다. 구간위의 함수 $f$ 를 적분하는 것은 고차원 다양체 위에서 미분 형식을 적분하는 것으로 일반화할 수 있다. 두 가지 기술적인 조건이 필요한데, 다양체는 방향을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 미분 형식은 콤팩트 지지이여야 한다.
두 점 $a,b$ 는 구간 $[a,b]$ 의 경계가 된다. 더 일반적으로, 스토크스의 정리는 경계를 갖는 유향 다양체 $M$ 에 적용된다. $M$ 의 경계인 $\partial M$ 은 그 자체로 다양체가 되고, $M$ 이 방향성을 가짐에 따라 자연스럽게 유향 다양체를 이룬다. 예를 들어 주어진 구간의 방향은 두 경계점의 방향을 준다. 직관적으로, 점 $a$ 는 점 $b$ 방향으로 방향을 가진다고 볼 수 있다.

그러므로 기본정리는 다음과 같이 해석된다.

\int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}dF=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a).

정의

2차원 다양체에서의 적분 (그림에서는 $\Omega$ 대신 $D$ 로 표기됨)

$\Omega$ 가 경계를 가진 n차원 유향 매끄러운 다양체라고 하고, $\omega$ 는 $\Omega$ 위에 정의된 (n−1)차 미분 형식이라고 하자. 또한, $\omega$ 가 콤팩트 지지라고 하자. $\partial \Omega$ 를 $\Omega$ 의 경계라고 하면, 다음 등식이 성립한다. 이 등식을 스토크스의 정리라고 한다.

\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega =\oint _{\partial \Omega }\omega

여기서 $\mathrm {d}$ 는 미분 형식의 외미분이다.

특수한 경우

켈빈-스토크스 정리

스토크스 정리의 고전적인 형태로서 켈빈-스토크스 정리(영어: Kelvin–Stokes theorem)라고도 한다. 3차원 공간상의 폐곡선에서 수행되는 선적분은 스토크스의 정리에 의해 주어진 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면 $R$ 에서의 면적분으로 변환될 수 있다. 역도 가능하다.

\oint _{\partial R}{\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }=\iint _{R}{\operatorname {curl} \,\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }

그린 정리

그린 정리도 2차원 다양체의 관점에서 마찬가지로 스토크스 정리의 특수한 형태라고 볼 수 있다. 스토크스 정리에서 즉시 유도된다.

발산 정리

발산 정리도 유클리드 공간에서 부피 형식(volume form)에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태가 된다.

같이 보기

외부 링크

이철희. “스토크스 정리”. 《수학노트》.
“Stokes theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Stokes' theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Stokes theorem”. 《nLab》 (영어).
“Kelvin-Stokes theorem”. 《ProofWiki》 (영어).
“General Stokes' theorem”. 《ProofWiki》 (영어).
Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem
Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu